Suprema von Teilmengen der reellen Zahle

Aufrufe: 53     Aktiv: 21.04.2021 um 20:41

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Könnte mir jemand helfen, vorallem bei der b) habe ich keinen Ansatz

Schonmal Danke im Vorraus :)

Lars
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Die Aufgabenstellung bei (a) ist falsch. Aus \(\forall\varepsilon>0:(M-\varepsilon,M]\cap A\neq\emptyset\) folgt nur \(M\leq\sup A\), nicht aber \(M=A\). Ist z.B. \(A=(-1,1)\subseteq\mathbb R\) und \(M=0\), dann ist sicher für beliebiges \(\varepsilon>0\) auch \(0\in(0-\varepsilon,0]\cap A\neq\emptyset\), aber das Supremum von \(A\) ist nicht \(0\), sondern \(1\). Du solltest also nicht versuchen, "\(\Longleftarrow\)" zu zeigen.   ─   stal 21.04.2021 um 17:50

@stal
\(M\) ist aber n.V. eine obere Schranke von \(A\).
  ─   orbit 21.04.2021 um 19:28

Oh, dann nvm, das hab ich nicht gut genug gelesen. Dann muss man ja fast nichts mehr zeigen.   ─   stal 21.04.2021 um 19:32

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Sei oBdA \(S:=\sup A \geq \sup B\), dann gilt sowohl \(S\geq x\) für alle \(x\in A\) als auch \(S\geq x\) für alle \(x\in B\). Somit ist \(S\) obere Schranke von \(A\cup B\). Nehmen wir nun an, es gäbe eine kleinere obere Schranke \(s\in A \cup B\), dann wäre \(S> s \geq x\) für alle \(x \in A\) und somit \(S\) kein Supremum.
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