Integralfunktionen mit Funktionsscharen

Aufrufe: 633     Aktiv: 10.03.2021 um 15:29
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Hallo

Hätte jemand eine Idee/ Ansatz zur folgenden Aufgabe?

Gegeben sind 2, in der Menge der reellen Zahlen definierten, Funktionen f und g.
f und g haben für x=a einen gemeinsamen Punkt und es gilt
\( \int_a^b (f'(x)-g'(x))dx=0\) 

Jetzt soll man zeigen, dass die beiden Funktionen auch bei x=b einen gemeinsamen Punkt haben.
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Hast du schon versucht alles zu \(f\) auf die eine Seite und alles zu \(g\) umzustellen?
Was kommt dann raus?   ─   math stories 10.03.2021 um 15:22
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==> \((f-g) |_a^b =0 ==> f(b)-f(a) -(g(b)-g(a))=f(b)-g(b)+g(a)-f(a) =0\) weil f(a)=g(a) gilt 
f(b)-g(b)=0 also f(b)=g(b)
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Aus \(\int_a^b(f'(x)-g'(x))dx=0\) folgt unmittelbar \(f(a)-g(a)=f(b)-g(b)\). Aus der Voraussetzung \(f(a)=g(a)\) folgt letztendlich \(0=f(b)-g(b)\Leftrightarrow f(b)=g(b)\)
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