Grundsätzlich sind primale und duale Probleme beide gleich zu behandeln, das duale Problem wird bei euch nur als Minimierungsaufgabe und das primale Problem als Maximierungsaufgabe definiert. (D) ist das duale Problem zu (P). Würde man aber davon ausgehen, dass (P) eine Minimierungsaufgabe wäre, so wäre das duale Problem eine Maximierungsaufgabe.

Grundsätzlich hast du zwei Möglichkeiten, um herauszufinden, ob es eine zulässige Lösung für die jeweiligen Probleme gibt:

1. Zeichnerisch: Stelle die Nebenbedingungen (Restriktionen) nach \(x_2\) bzw. \(u_2\) um und zeichne die Geraden (wenn man die Ungleichungen als Gleichungen interpretiert) in ein Koordinatensystem. Eine Nebenbedingung unterteilt die Ebene immer in zwei Halbebenen: Eine, in der die zulässigen Punkte liegen und eine, in der die unzulässigen Punkte liegen. Nimm dir irgendeinen beliebigen Punkt, der nicht auf der Gerade liegt, und setze ihn in die Ungleichung ein. Dann weißt du, welche Halbebene die zulässige ist. Mit allen Nebenbedingungen erhältst du ein Polyeder. Es kann sich aber auch um einen Kegel handeln, wo eine unbeschränkt zulässige Richtung existiert. Zeichne auch die Zielfunktion durch umstellen ein. Du wirst sehen, ob der optimale Wert beschränkt ist (in einem Schnittpunkt der Geraden liegt, auch Extrempunkt genannt), oder man unbeschränkt weiter gehen kann. Wenn durch alle Nebenbedingungen gar kein zulässiger Bereich existiert, so hat das Problem gar keine Lösung.
2. Simplex-Algorithmus: Wende den Algorithmus an, um die Optimallösung zu bestimmen. Bei der Durchführung kann man feststellen, dass evtl. gar keine zulässige Lösung existiert (die sucht man eigentlich direkt zu Beginn um überhaupt mit dem eigentlichen Simplex starten zu können), oder man sieht, dass die Optimallösung unbeschränkt ist.

Also die Unzulässigkeit des Primalen Problems erkennt man direkt, wenn man versucht das Gleichungssystem in den Nebenbedingungen zu lösen. Es gibt dort eben keine Lösung, bei der \( x_1 \) und \( x_2 \) die Nichtnegativitätsbedingung nicht verletzen.

Beim dualen Problem erkennt man wiederum gut, dass z.B. \( u_1 = 0 \) und \( u_2 = 2 \) eine zulässige Lösung ist. Um die Unbeschränktheit eines linearen Optimierungsproblems zu zeigen, hattet ihr in der Vorlesung bestimmt eine Art Zertifikat, dass man für diesen Fall überprüfen könnte.