Partielle Ordnungen

Aufrufe: 1026     Aktiv: 20.06.2019 um 12:29

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Hallo zusammen!

Ich brauche auch zu dieser Aufgabe Eure Hilfe!

Was drucken die folgenden Aussagen über partielle Ordnungen aus?

1. ∀x∀y(x < y ⇒ ∃z(x < z < y)),

2. ∀x∀y(x < y ⇒ ¬∃z(x < z < y)).

Geben Sie je ein Beispiel einer partiellen Ordnung, die die betreffende Eigenschaft besitzt. Gibt es eine partielle Ordnung, die beide Eigenschaften besitzt?

Beste Grüße

Eva

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gefragt

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Schön, dass Sie dieses Forum für Fragen benutzen, wir wollen ja schließlich als Community wachsen! Aber es besteht die Gefahr, dass Leute anfangen zu denken, dass sie hier einfach nur die Frage reinposten und ausführlich geschriebene und leicht verständliche Antworten umsonst kriegen … und wir sind nun mal nicht so eine Community. Vielleicht mal kurz den eigenen Ansatz mit der Frage hier uploaden und dann kann man damit besser arbeiten. Wenn man aber sagt: „Ich weiß es einfach nicht“, dann hat man sich mit der Frage nicht genug ausgesetzt. Der Ansatz kann noch so falsch oder „unpassend“ klingen, er deutet auf Mühe und Überlegungen – dies ist der Schlüssel zum Verständnis …   ─   einmalmathe 19.06.2019 um 02:21

Hallo,

vielen Dank für das Feedback! Diese Community und natürlich Daniel Jung bewundere ich sehr.
Vlt. bekomme ich von Ihnen eine richtige Antwort dann, wenn ich hier nun mal meine Überlegungen kurz darstelle, die wahrscheinlich total daneben sind....

1. ∀x∀y(x < y ⇒ ∃z(x < z < y))

2. ∀x∀y(x < y ⇒ ¬∃z(x < z < y))

In der ersten Aussage existiert ein z, das größer als x und kleiner als y ist und in der zweiten Aussage existiert kein z, das größer als x und kleiner als y ist.

In beiden Aussagen wird die Transitivität der partiellen Ordnung erfüllt.

Die natürlichen Zahlen (1. Aussage) und die reellen Zahlen (2. Aussage) besitzen diese Eigenschaft.

Bsp. 1<3 -> 1<2<3 (1. Aussage)

1<2 -> 1<2 (2. Aussage)

Diese Überlegungen habe ich als Geisteswissenschaftlerin, die sich wirklich bemüht Mathematik zu verstehen.

Beste Grüße
Eva
  ─   evatsigkana 19.06.2019 um 21:10
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Hallo,

ganz genau, in der ersten Aussage, gibt es für je zwei Zahlen, die nicht gleich sind, noch eine Zahl dazwischen. In der zweiten Aussage gibt es die nicht.

Die Idee mit reellen Zahlen und natürlichen Zahlen ist auch schon sehr gut! Allerdings hast du es genau falsch herum gemacht. Nimm doch mal \(x=1\) und \(y=2\). Dann gibt es in den natürlichen Zahlen keine Zahl mehr dazwischen, in den reellen Zahlen aber schon. \(z=1.5\), \(z=\frac{\pi}{3}\),...

Da beide Aussagen sich gegenseitig ausschließen, kann es keine partielle Ordnung mit beiden Eigenschaften haben. Das ist wie

Es regnet \(\Rightarrow\) ich geh ins Schwimmbad. (Weil wenig los ist)

Es regnet \(\Rightarrow\) ich geh nicht ins Schwimmbad. (Wer geht schon bei Regen schwimmen?)

Du kannst aber bei Regen nicht gleichzeitig im Schwimmbad und nicht im Schwimmbad sein ;)

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Tausend Dank für dein Feedback!!!   ─   evatsigkana 20.06.2019 um 12:29

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