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$$\text{Aufgabe: Sei } ABC \text{ ein Dreieck in der euklidischen Ebene } E^2, \text{ sodass im Folgenden gilt } \angle DAC = \frac{\pi}{6} \text{ und sowie } \angle ADC = \frac{3\pi}{4}. \text{ Sei } B \text{ der eindeutige Punkt auf } AD \text{ mit } B \neq A \text{ und } |AD| \equiv |DB|.$$ $$\text{ Bestimme } \tan(\beta) = \tan(\angle ABC).$$Hinweis:
$$\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$
$$\frac{sin\left( \gamma' \right)}{\left| \overline{AD} \right|}=\frac{sin\left( \alpha \right)}{\left| \overline{DC} \right|} \iff \frac{\left| \overline{DC} \right|}{\left| \overline{AD} \right|}=\frac{sin\left( \alpha \right)}{sin\left( \gamma' \right)} \left( 1 \right)$$
$$\frac{sin\left( \beta \right)}{\left| \overline{DC} \right|}=\frac{sin\left( \gamma '' \right)}{\left| \overline{DB} \right|} \iff \frac{\left| \overline{DC} \right|}{\left| \overline{DB} \right|}=\frac{sin\left( \beta \right)}{sin\left( \gamma'' \right)} \left( 2 \right)$$
$\underrightarrow{\left( 1 \right)\left( 2 \right),\overline{AD}=\overline{DB}}$ $\frac{sin\left( \alpha \right)}{sin\left( \gamma' \right)}=\frac{sin\left( \beta \right)}{sin\left( \gamma'' \right)}$
$Da, \alpha =\frac{\pi}{6} , \delta=\frac{3\pi}{4},\delta'=\frac{\pi}{4}, \gamma'' =\frac{3\pi}{4}-\beta , \gamma'=\frac{\pi}{12}$
$Da, \alpha =\frac{\pi}{6} , \delta=\frac{3\pi}{4},\delta'=\frac{\pi}{4}, \gamma'' =\frac{3\pi}{4}-\beta , \gamma'=\frac{\pi}{12}$
$\Rightarrow $
$\frac{sin\left( \beta \right)}{sin\left( \frac{3\pi}{4}-\beta \right)}=\frac{sin\left( \frac{\pi}{6} \right)}{sin\left( \frac{\pi}{12} \right)}$
$\frac{sin\left( \beta \right)}{sin\left( \frac{3\pi}{4}\right)cos\left( \beta \right)-sin\left( \beta\right)cos\left( \frac{3\pi}{4} \right)}=\frac{2}{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}-1 \right)}$
$\frac{sin\left( \beta \right)}{sin\left( \frac{3\pi}{4}\right)cos\left( \beta \right)-sin\left( \beta\right)cos\left( \frac{3\pi}{4} \right)}=\frac{2}{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}-1 \right)}$
$\sqrt{3}-1= \frac{cos\left( \beta \right)+sin\left( \beta \right)}{sin\left( \beta \right)}=cot\left( \beta \right) +1$
Ich habe irgendwo ein Vorzeichen Fehler gemacht, da entweder die +1 oder -1 falsch ist, aber ich finde ihn nicht :/
Skizze:
Ich wäre auch sonst für schnellere Wege, welche den Sinussatz beinhalten offen. Vielenn Dank :)
Ich habe irgendwo ein Vorzeichen Fehler gemacht, da entweder die +1 oder -1 falsch ist, aber ich finde ihn nicht :/
Skizze:
Ich wäre auch sonst für schnellere Wege, welche den Sinussatz beinhalten offen. Vielenn Dank :)
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max978
Punkte: 19
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