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Es gilt: \( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) = u_x( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda} (\lambda x) + u_y( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda} (\lambda y) \).
Dabei bezeichnet \(u_x\) bzw. \(u_y\) die Ableitung von u nach dem ersten bzw. zweiten Argument.
Das Problem ist hier die verwirrende Schreibweise: x und y wird als Name für das 1. und 2. Argument von u verwendet, wird aber auch anders verwendet, nämlich im Ausdruck \( u( \lambda x,\lambda y) \).
Wenn man das erste Argument von u temporär \(\xi\) nennt und das zweite \(\eta\), also \( u=u(\xi,\eta) \), dann wird's klarer:
\( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) \;\;\stackrel{\mbox{Kettenregel}}=\;\;
u_{\xi} ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) +
u_{\eta} ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda y)
\)
Nun nennt man das erste Argument von u wieder x und das zweite wieder y - also \( u=u(x,y) \).
Dann steht da
\( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) \;=\;
u_x ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) +
u_y ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda y)
\)
Rechnet man nun \( \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) \) und \( \frac{d}{d\lambda}(\lambda y) \) aus und setzt \(\lambda=1\), dann hat man die gewünschte lin. part. DLG 1. Ordnung.
Dabei bezeichnet \(u_x\) bzw. \(u_y\) die Ableitung von u nach dem ersten bzw. zweiten Argument.
Das Problem ist hier die verwirrende Schreibweise: x und y wird als Name für das 1. und 2. Argument von u verwendet, wird aber auch anders verwendet, nämlich im Ausdruck \( u( \lambda x,\lambda y) \).
Wenn man das erste Argument von u temporär \(\xi\) nennt und das zweite \(\eta\), also \( u=u(\xi,\eta) \), dann wird's klarer:
\( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) \;\;\stackrel{\mbox{Kettenregel}}=\;\;
u_{\xi} ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) +
u_{\eta} ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda y)
\)
Nun nennt man das erste Argument von u wieder x und das zweite wieder y - also \( u=u(x,y) \).
Dann steht da
\( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) \;=\;
u_x ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) +
u_y ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda y)
\)
Rechnet man nun \( \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) \) und \( \frac{d}{d\lambda}(\lambda y) \) aus und setzt \(\lambda=1\), dann hat man die gewünschte lin. part. DLG 1. Ordnung.
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m.simon.539
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Vielen Dank für die Erklärung, jetzt verstehe ich es!
Ja, wie du gesagt hast ist die Schreibweise das gewesen, was mich hier verwirrt hat.
Ich hab die DGL jetzt umformen und lösen können, und habe die allgemeine Lösung \(u(x,y) = y^n \cdot c(\frac{x}{y})\) mit einer beliebigen stetig differenzierterbaren Funktion in einer Variable \(c(t) \) erhalten. ─ hetg5 27.09.2023 um 16:37
Ja, wie du gesagt hast ist die Schreibweise das gewesen, was mich hier verwirrt hat.
Ich hab die DGL jetzt umformen und lösen können, und habe die allgemeine Lösung \(u(x,y) = y^n \cdot c(\frac{x}{y})\) mit einer beliebigen stetig differenzierterbaren Funktion in einer Variable \(c(t) \) erhalten. ─ hetg5 27.09.2023 um 16:37
Lade die gesamte Aufgabenstellung im Original und vollständig hoch. ─ mikn 27.09.2023 um 15:58