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Hallo!
Ich habe folgende Angabe:
\( u(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n \cdot u(x,y) \)
und die Funktion u(x,y) ist gesucht.
Als Hinweis ist der Aufgabe beigefügt, man soll "Nach \(\lambda\) differenzieren und dann \( \lambda=1 \) setzen um die Gleichung auf die Form \(xu_x + yu_y = nu\) zu bringen.
Das wäre eine einfache lineare partielle DGL 1. Ordnung, die ich lösen könnte, allerdings schaffe ich die Umformung dorthin leider nicht.

Die rechte Seite geht ja, denn mit
\(\frac{d}{d\lambda}(\lambda^n \cdot u(x,y)) = n\lambda^{n-1}\cdot u(x,y)\)
erhalte ich bereits die gewünschte rechte Seite \(nu\) wenn ich \(\lambda = 1\) setze.

Auf der linken Seite habe ich jedoch jetzt folgenden Ausdruck stehen:
\(\frac{d}{d\lambda} u(\lambda x, \lambda y)\), und hier weiß ich gerade nicht weiter. Wie kann ich \(u(\lambda x, \lambda y)\) partiell nach \(\lambda\) ableiten, von dem hängt u(x,y) doch gar nicht ab? Klar, ich komme auf das richtige Ergebnis wenn ich \(u_x\cdot \frac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda x) + u_y\cdot \frac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda y)\) rechne, aber ist das richtig? Falls das der korrekte Weg ist, verstehe ich leider nicht, wieso das so funktioniert...

Ich hoffe mir kann das kurz jemand erklären, danke!
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Da hab ich direkt eine Lösung: u(x,y)=0 konstant, fertig.
Lade die gesamte Aufgabenstellung im Original und vollständig hoch.
  ─   mikn 27.09.2023 um 15:58

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Es geht hier aber, glaube ich, eher um die Lösungen, die nicht 0 sind.   ─   m.simon.539 27.09.2023 um 16:06

Deswegen geht's immer um die vollständige Aufgabenstellung.   ─   cauchy 27.09.2023 um 16:19

selbstverständlich ist die allgemeine Lösung gemeint, nicht irgendeine triviale Lösung. Dann wäre doch die ganze Aufgabe unnötig...   ─   hetg5 27.09.2023 um 16:34

Es gibt bei Aufgaben kein "gemeint" und auch kein "glaube ich". Auch diese Aufgabe hat eine präzise Aufgabenstellung, die Du nicht nennst. Das machen sehr viele Frager hier. Oft haben sie dann nicht alles gesehen und glauben zu wissen was gemeint ist...   ─   mikn 27.09.2023 um 17:30

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Frage mich, wo hier das genaue Problem jetzt hier ist. Der Fragy hat konkret nach einer Umformung/Zwischenschritt gefragt und genau diesen erklärt bekommen. Der Rest scheint ja vorerst einmal klar. Also - genau die vollständige Fragestellung lesen ;-)   ─   crystalmath 27.09.2023 um 17:57

Die Aufgabe ist in den ersten vier Zeilen genannt. Und die kann man ohne Hinweis lösen. Wo das genaue Problem mit der Aufgabe ist, hab ich ja gesagt, also erst mal den Kommentar vollständig lesen ;-)   ─   mikn 27.09.2023 um 18:12

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Dann kann man sie ohne Hinweis lösen, gut möglich. Aber der Fragy hat eine konkrete Frage zu dem Hinweis gestellt, da er Probleme mit der Kettenregel hatte. Der Kontext zu dieser Frage ist weitesgehend irrelevant für diesen einen Zwischenschritt. Aber hey - in der Klausur wären das 0 Punkte - eine andere Frage beantwortet als gestellt.   ─   crystalmath 27.09.2023 um 18:20

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Wie gut, dass es nur ein Kommentar war und keine Antwort.   ─   cauchy 27.09.2023 um 18:47
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Es gilt: \( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) = u_x( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda} (\lambda x) + u_y( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda} (\lambda y) \).
Dabei bezeichnet \(u_x\) bzw. \(u_y\)  die Ableitung von u nach dem ersten bzw. zweiten  Argument.

Das Problem ist hier die verwirrende Schreibweise: x und y wird als Name für das 1. und 2. Argument von u verwendet, wird aber auch anders verwendet, nämlich im Ausdruck \( u( \lambda x,\lambda y) \).

Wenn man das erste Argument von u temporär \(\xi\) nennt und das zweite \(\eta\), also \( u=u(\xi,\eta) \), dann wird's klarer:

\( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) \;\;\stackrel{\mbox{Kettenregel}}=\;\;
   u_{\xi} ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) +
   u_{\eta} ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda y)
\)

Nun nennt man das erste Argument von u wieder x und das zweite wieder y - also \( u=u(x,y) \).
Dann steht da
\( \frac{d}{d\lambda} u( \lambda x,\lambda y) \;=\;
   u_x ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) +
   u_y ( \lambda x,\lambda y) \frac{d}{d\lambda}(\lambda y)
\)

Rechnet man nun \( \frac{d}{d\lambda}(\lambda x) \) und \( \frac{d}{d\lambda}(\lambda y) \) aus und setzt \(\lambda=1\), dann hat man die gewünschte lin. part. DLG 1. Ordnung.
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Vielen Dank für die Erklärung, jetzt verstehe ich es!
Ja, wie du gesagt hast ist die Schreibweise das gewesen, was mich hier verwirrt hat.

Ich hab die DGL jetzt umformen und lösen können, und habe die allgemeine Lösung \(u(x,y) = y^n \cdot c(\frac{x}{y})\) mit einer beliebigen stetig differenzierterbaren Funktion in einer Variable \(c(t) \) erhalten.
  ─   hetg5 27.09.2023 um 16:37

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