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Hallo,
eine Verteilungsfunktion ist monoton wachsend von 0 bis 1. Das heißt es gilt immer \(F(-\infty)=0\), da die Wahrscheinlichkeit kleiner als -unendlich zu liegen 0% ist. Damit folgt mit deiner Argumentation über das Integral einfach wieder die Anfangsaussage \(F(x)=\alpha\).
Zu dem Beispiel: Sei $p\in(0,1)$ beliebig, dann nennen wir $x_p$ ein $p$-Quantil. Das heißt es gilt: $P(X\le x_p)\ge p$.
Du wählst nun $p=0.3$ und für ein $30\%$-Quantil $x_{0.3}$ muss gelten: $P(X\le x_{0.3})\ge 30\%$.
Falls $X$ eine Dichte $f(x)$ hat, gilt
\(P(X\le x_{0.3})=F(x_{0.3})-0=F(x_{0.3})-F(-\infty)=\int\limits_{-\infty}^{x_{0.3}} f(s)\ \rm ds \)
Liebe Grüße
eine Verteilungsfunktion ist monoton wachsend von 0 bis 1. Das heißt es gilt immer \(F(-\infty)=0\), da die Wahrscheinlichkeit kleiner als -unendlich zu liegen 0% ist. Damit folgt mit deiner Argumentation über das Integral einfach wieder die Anfangsaussage \(F(x)=\alpha\).
Zu dem Beispiel: Sei $p\in(0,1)$ beliebig, dann nennen wir $x_p$ ein $p$-Quantil. Das heißt es gilt: $P(X\le x_p)\ge p$.
Du wählst nun $p=0.3$ und für ein $30\%$-Quantil $x_{0.3}$ muss gelten: $P(X\le x_{0.3})\ge 30\%$.
Falls $X$ eine Dichte $f(x)$ hat, gilt
\(P(X\le x_{0.3})=F(x_{0.3})-0=F(x_{0.3})-F(-\infty)=\int\limits_{-\infty}^{x_{0.3}} f(s)\ \rm ds \)
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holly
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