Isomorphismus zeigen

Aufrufe: 988     Aktiv: 14.02.2021 um 15:03
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Hallo, 

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ich habe die Abbildung so definiert:

 \(f: U \to Z^{n-1}_{2}\), \(f(u)\to v\).

und habe bereits gezeigt, dass die Abbildung linear ist und injektiv.
Um die Isomophie zu zeigen brauche ich dann noch die Surjektivität. Mein Ansatz wäre, zu zeigen, dass es für jeden Vektor \(v\) in \(Z^{n-1}_{2}\) eine Vektor \(u\) in \(Z^{n}_{2}\) gibt mit \(f(u)=v\). Nun weiß ich aber nicht, wie ich das beweisen kann. Kann mit jemand helfen?

Vielen Danke im Voraus!

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Was soll denn \( v \) sein? Also \( f(u)=? \).   ─   42 16.01.2021 um 23:33
Ich dachte mir, dass \(v\) der Vektor ist auf den \(u\) von \(f\) abgebildet wird.   ─   mathestudent 16.01.2021 um 23:55
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Aber es gibt ja erstmal gar kein \(f\). Du sollst den Isomorphismus ja selbst definieren. Das ist die Aufgabe. Du musst dir also überlegen, wie du \( f(u) \) ganz konkret definieren kannst, damit \(f\) ein Isomorphismus ist.   ─   42 17.01.2021 um 01:28
Aber soll ich nicht erst allgemein zeigen, dass es immer ein Isomorphismus ist, und danach einen konkret angeben?   ─   mathestudent 17.01.2021 um 09:36
Achso, ich dachte alle müssten Isomorph sein, das war mein Denkfehler.. Vielen Dank!   ─   mathestudent 17.01.2021 um 11:55
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nicht jede Funktion, allgemein gesprochen, ist ja ein Isomorphismus. Erst dadurch, dass du durch "cleveres hinschreiben" eine Funktion derart definierst, dass du behaupten kannst, dass sie ein Isomorphismus ist, kannst du für genau diese Funktion dann auch beweisen, dass es tatsächlich ein Isomorphismus ist. Und zwei Vektorräume sind schließlich isomoprh, wenn es wenigstens einen Isomorphismus vom einen zum anderen gibt.
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