Faltung zweier Gleichverteilungen bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 56     Aktiv: 02.01.2023 um 17:33

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Es seien \( X, Y \) zwei unabhängige \( \mathbb{Z} \) oder \( \mathbb{R} \)-wertige Zufallsvariablen. Ich möchte die Faltung der Verteilungen von \( X \) und \( Y \), für \( X, Y \sim U(0,1) \) bestimmen.

Es gilt:
$f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x-y) f_Y(y) dy = \int_0^1 f_X(x-y) f_Y(y) dy$

Was genau fange ich jetzt mit dem Ausdruck $f_x(x-y)$ an, um das Ganze zu integrieren? Das hat ja schon so eine gewisse Ähnlichkeit zu $\int_0^1f_Y(y) dy =F_Y(y)$, ich weiß halt nur nicht, was ich mit
$f_x(x-y)$ anstellen soll.

MfG

EDIT vom 02.01.2023 um 16:53:

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1 Antwort
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Mach Dir erst nochmal die Bedeutung der Variablen bei Integralen klar.
Z.B. ist $\int\limits_0^1 F_Y(y)\, dy$ keine Funktion, sondern eine Zahl.
Beachte genau, was ist Integrationsvariable, und was nicht.
Es ist unklar, was Du tun sollst. Hast Du zwei konkrete Verteilungen gegeben? Dann einsetzen, ausrechnen, fertig. Oder was sonst?
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Das bei $\int_0^1f_Y(y) dy$ eine Zahl rauskommt ist mir schon bewusst. Es sollte schlicht die allgemeine Definition der Verteilungsfunktion uniform verteilter Zufallsgrößen beschreiben, also $F_Y(y)=\int_{- \infty}^yf_Y(y)dy$. Das ist oben mit den eingesetzen Grenzen ungllücklich aufgeschrieben.

Ich möchte den Ausdruck über die Variabkle y integrieren, klar. Mein Problem ist, dass ich z.B. nichts mit dem x aus $f_X(x-y)$ anfangen kann.

Die Aufgabenstellung ist oben wörtlich übernommen. Ich möchte die Faltung der Verteilungen von X und Y mit $X,Y \sim U(0,1)$ bestimmen. Dazu habe ich aus der VL folgenden Satz:

Sind \( X \) und \( Y \) jeweils \( \mathbb{R}^{d} \)-wertige Zufallsvariablen mit kontinuierlichen Dichten \( f_{X}(x) \) und \( f_{Y}(x) \), dann erhalten wir für die kontinuierliche Dichte von \( X+Y \)
\(f_{X+Y}(x)=\left(f_{X} * f_{Y}\right)(x):=\int \limits_{\mathbb{R}^{d}} f_{X}(x-y) f_{Y}(y) d y\)
  ─   asimov02 02.01.2023 um 15:24

Dein $F_Y$ ist noch falscher als vorher wg weiterer Verwirrung mit den Variablen. Nochmal dringender Appell: Mach Dir die Bedeutung der Variablen klar, wenn Du die Verwirrung bei der Aufgabe loswerden willst, und achte auf jedes Detail.
Und die Aufgabenstellung ist sicherlich nicht wortwörtlich übernommen, da steht ja sicher nicht "ich möchte gerne".
Ich helfe Dir gerne weiter, aber ohne die Aufgabenstellung bin ich aktuell ratlos. Ohne konkretes $f_X,f_Y$ kann man auch keine Faltung ausrechnen.
Also, lade mal die vollständige Aufgabenstellung im Original (am besten als Foto) hoch (oben "Frage bearbeiten").
  ─   mikn 02.01.2023 um 15:42

Bild ist hochgeladen. $f_X$ und $f_Y$ sind einfach nur die Dichtefunktionen von der uniformen Verteilung. Die Verteilungsfunktion einer uniformen Verteilung ist gegeben durch das Integral über die Dichtefunktion. Ich verstehe gerade nicht, wo das Problem liegt?   ─   asimov02 02.01.2023 um 16:58

Nochmal neu, sorry, ich war mit dem U(0,1) nicht vertraut, hat etwas gedauert.
Also hat man $f_X, f_Y$ konkret gegeben. Dann kann man auch mit der Faltungsformel was rechnen.
Also, einsetzen und mal losrechnen. Hast Du schonmal eine Faltung berechnet? Dabei geht es zum großen Teil um die Intervalle, die dabei auftreten. Es ist dann hilfreich sich die beiden Funktionen zu skizzieren, wobei auf der x-Achse die Integrationsvariable liegt (auch wenn die anders heißt.... wie schon gesagt....). Dann spielt man die einzelnen Fälle durch.
  ─   mikn 02.01.2023 um 17:03

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