Faltung zweier Gleichverteilungen bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 390     Aktiv: 02.01.2023 um 17:33

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Es seien \( X, Y \) zwei unabhängige \( \mathbb{Z} \) oder \( \mathbb{R} \)-wertige Zufallsvariablen. Ich möchte die Faltung der Verteilungen von \( X \) und \( Y \), für \( X, Y \sim U(0,1) \) bestimmen.

Es gilt:
$f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x-y) f_Y(y) dy = \int_0^1 f_X(x-y) f_Y(y) dy$

Was genau fange ich jetzt mit dem Ausdruck $f_x(x-y)$ an, um das Ganze zu integrieren? Das hat ja schon so eine gewisse Ähnlichkeit zu $\int_0^1f_Y(y) dy =F_Y(y)$, ich weiß halt nur nicht, was ich mit
$f_x(x-y)$ anstellen soll.

MfG

EDIT vom 02.01.2023 um 16:53:

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1 Antwort
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Mach Dir erst nochmal die Bedeutung der Variablen bei Integralen klar.
Z.B. ist $\int\limits_0^1 F_Y(y)\, dy$ keine Funktion, sondern eine Zahl.
Beachte genau, was ist Integrationsvariable, und was nicht.
Es ist unklar, was Du tun sollst. Hast Du zwei konkrete Verteilungen gegeben? Dann einsetzen, ausrechnen, fertig. Oder was sonst?
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Das bei $\int_0^1f_Y(y) dy$ eine Zahl rauskommt ist mir schon bewusst. Es sollte schlicht die allgemeine Definition der Verteilungsfunktion uniform verteilter Zufallsgrößen beschreiben, also $F_Y(y)=\int_{- \infty}^yf_Y(y)dy$. Das ist oben mit den eingesetzen Grenzen ungllücklich aufgeschrieben.

Ich möchte den Ausdruck über die Variabkle y integrieren, klar. Mein Problem ist, dass ich z.B. nichts mit dem x aus $f_X(x-y)$ anfangen kann.

Die Aufgabenstellung ist oben wörtlich übernommen. Ich möchte die Faltung der Verteilungen von X und Y mit $X,Y \sim U(0,1)$ bestimmen. Dazu habe ich aus der VL folgenden Satz:

Sind \( X \) und \( Y \) jeweils \( \mathbb{R}^{d} \)-wertige Zufallsvariablen mit kontinuierlichen Dichten \( f_{X}(x) \) und \( f_{Y}(x) \), dann erhalten wir für die kontinuierliche Dichte von \( X+Y \)
\(f_{X+Y}(x)=\left(f_{X} * f_{Y}\right)(x):=\int \limits_{\mathbb{R}^{d}} f_{X}(x-y) f_{Y}(y) d y\)
  ─   asimov02 02.01.2023 um 15:24

Bild ist hochgeladen. $f_X$ und $f_Y$ sind einfach nur die Dichtefunktionen von der uniformen Verteilung. Die Verteilungsfunktion einer uniformen Verteilung ist gegeben durch das Integral über die Dichtefunktion. Ich verstehe gerade nicht, wo das Problem liegt?   ─   asimov02 02.01.2023 um 16:58

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