Aufstellung der Funktion dritten Grades

Aufrufe: 401     Aktiv: 16.04.2020 um 10:07

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Eine quadratische Funktion X^2 -4x +3 hat zwei Nullstellen bei X = 1 und X = 3 und schneidet die Y-Achse im Punkt P(0 I 3).

Eine Gerade g, als lineare Funktion Y = -X + 3 verläuft durch die beiden Punkte.

Mithilfe dieser Information soll eine ganzrationale Funktion dritten Grades aufgestellt werden, die die Parabel im P berührt und 

die Gerade g im Punkt Q(3 I 0) zur Tangente hat.

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Eine Funktion dritten Grades ist allgemein definiert durch \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Du hast also 4 unbekannte Parameter, die du bestimmen musst. Dies kannst du tun, in dem du dir Informationen zur Funktion nimmst und damit ein Gleichungssystem aufbaust. Durch Lösen des Gleichungssystems erhältst du dann die Werte für deine Parameter a, b, c und d.

Du hast also die Information, dass die Punkte \( (0;3) \) und \( (3;0) \) auf der Kurve liegen. Die Punkte kannst du in die allgemeine Gleichung für \( f(x) \) einsetzen und erhältst 2 Gleichungen. Eine weiter Gleichung erhältst du, wenn du weißt, dass die Gerade g eine Tangente im Punkt Q sein soll. Demnach kannst du \( f(x) \) ableiten und weißt, dass der Wert der Ableitung an der Stelle \( x=3 \) dem Anstieg deiner Geraden g entspricht, also \( f'(3) = -1 \).

So suchst du dir die ganzen Informationen zusammen und löst die Aufgabe.

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Danke für deinen Hinweis. Der Einsatz der beiden Punkte in die allg. Gleichung ist ja klar. Dass die Steigung der Gerade g -1 ist, kann man schon aus der Funktion Y = -X + 3 ablesen. Aber was hilft mir die Steigung -1 beim GS? Es fehlen noch zwei Punkte für die Lösung des GS.

I a0^3 + b0^2 + c0 + d = 3 => d=3
II a3^3 + b3^2 + c3 + d = 0
III
IV

f(x) = aX^3 + bX^2 +cX + d 1.Ableitung f'(x) = 3aX^2 + 2bX + c Einsetzen: f'(3) = 27a +6b + c

Wie geht es weiter?

  ─   sedat75 14.04.2020 um 17:16

Das gibt dir jetzt die Gleichung 27a +6b + c = -1, denn du hast ja f'(3) = -1.
Außerdem hast du die Info, dass der Funktionsgraph die Parabel im Punkt (0|3) berührt. Den Punkt (0|3) hast du schon verwendet, aber noch nicht das "berührt". Dieses bedeutet, dass f dort die gleiche Ableitung hat wie die Parabel. Also musst du die Ableitung der Parabel an der Stelle 0 ausrechnen und mit f'(0) gleichsetzen.
  ─   digamma 14.04.2020 um 17:20

I a0^3 + b0^2 + c0 + d = 3 => d=3

II a3^3 + b3^2 + c3 + d = 0

III 27a +6b + c = -1

IV

f'parabel (0) = f'kubisch (0)

3a*0^2 + 2b*0 + c = 2*0 -4 => c=-4

Ist es soweit richtig?

  ─   sedat75 14.04.2020 um 18:20

Sieht gut aus soweit, jetzt kannst du deine Werte für c und d in II und III (hier nur das c) einsetzen und damit die Werte für a und b bestimmen.   ─   el_stefano 14.04.2020 um 18:27

Ich komme auf das Ergebnis:

II 27a + 9b = 9

III 27a + 6b = 3

Nach Eliminieren erhalte ich b = 2 und a = -1/3 und somit

f(X) = -1/3X^3 +2X^2 -4x +3

hast du auch die Gleichung aufgestellt oder kannst du bitte sie überprüfen?

  ─   sedat75 14.04.2020 um 18:44

Die Eingabe bei GeoGebra zeigt an, dass die Funktion richtig ist.

Danke für die Hilfe!

Jetzt die letze Frage: Diskutieren Sie die Funktion. Welche Aufgaben gehören zur Kurvendiskussion ganz konkret?
  ─   sedat75 14.04.2020 um 19:06

Du kannst doch selbst überprüfen, ob sie die Bedingungen erfüllt.   ─   digamma 14.04.2020 um 19:06

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen. Ggf. noch Definitionslücken und Asymptoten.   ─   digamma 14.04.2020 um 19:08

Vielen Dank!   ─   sedat75 14.04.2020 um 19:16

Danke für die Einrichtung dieses Fragenportals mathefragen.de. Hier bekommt man richtige Antworten auf seine Fragen schnell. Das zeigt die Qualitätä des Fragenportals und das Niveau der Helfer im Portal.   ─   sedat75 16.04.2020 um 10:07

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