Aufstellung der Funktion dritten Grades

Aufrufe: 264     Aktiv: vor 7 Monaten, 2 Wochen

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Eine quadratische Funktion X^2 -4x +3 hat zwei Nullstellen bei X = 1 und X = 3 und schneidet die Y-Achse im Punkt P(0 I 3).

Eine Gerade g, als lineare Funktion Y = -X + 3 verläuft durch die beiden Punkte.

Mithilfe dieser Information soll eine ganzrationale Funktion dritten Grades aufgestellt werden, die die Parabel im P berührt und 

die Gerade g im Punkt Q(3 I 0) zur Tangente hat.

gefragt vor 7 Monaten, 3 Wochen
s
sedat75,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Eine Funktion dritten Grades ist allgemein definiert durch \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Du hast also 4 unbekannte Parameter, die du bestimmen musst. Dies kannst du tun, in dem du dir Informationen zur Funktion nimmst und damit ein Gleichungssystem aufbaust. Durch Lösen des Gleichungssystems erhältst du dann die Werte für deine Parameter a, b, c und d.

Du hast also die Information, dass die Punkte \( (0;3) \) und \( (3;0) \) auf der Kurve liegen. Die Punkte kannst du in die allgemeine Gleichung für \( f(x) \) einsetzen und erhältst 2 Gleichungen. Eine weiter Gleichung erhältst du, wenn du weißt, dass die Gerade g eine Tangente im Punkt Q sein soll. Demnach kannst du \( f(x) \) ableiten und weißt, dass der Wert der Ableitung an der Stelle \( x=3 \) dem Anstieg deiner Geraden g entspricht, also \( f'(3) = -1 \).

So suchst du dir die ganzen Informationen zusammen und löst die Aufgabe.

geantwortet vor 7 Monaten, 3 Wochen
el_stefano
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 4.92K
 

Danke für deinen Hinweis. Der Einsatz der beiden Punkte in die allg. Gleichung ist ja klar. Dass die Steigung der Gerade g -1 ist, kann man schon aus der Funktion Y = -X + 3 ablesen. Aber was hilft mir die Steigung -1 beim GS? Es fehlen noch zwei Punkte für die Lösung des GS.

I a0^3 + b0^2 + c0 + d = 3 => d=3
II a3^3 + b3^2 + c3 + d = 0
III
IV

f(x) = aX^3 + bX^2 +cX + d 1.Ableitung f'(x) = 3aX^2 + 2bX + c Einsetzen: f'(3) = 27a +6b + c

Wie geht es weiter?

  ─   sedat75, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Das gibt dir jetzt die Gleichung 27a +6b + c = -1, denn du hast ja f'(3) = -1.
Außerdem hast du die Info, dass der Funktionsgraph die Parabel im Punkt (0|3) berührt. Den Punkt (0|3) hast du schon verwendet, aber noch nicht das "berührt". Dieses bedeutet, dass f dort die gleiche Ableitung hat wie die Parabel. Also musst du die Ableitung der Parabel an der Stelle 0 ausrechnen und mit f'(0) gleichsetzen.
  ─   digamma, vor 7 Monaten, 3 Wochen

I a0^3 + b0^2 + c0 + d = 3 => d=3

II a3^3 + b3^2 + c3 + d = 0

III 27a +6b + c = -1

IV

f'parabel (0) = f'kubisch (0)

3a*0^2 + 2b*0 + c = 2*0 -4 => c=-4

Ist es soweit richtig?

  ─   sedat75, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Sieht gut aus soweit, jetzt kannst du deine Werte für c und d in II und III (hier nur das c) einsetzen und damit die Werte für a und b bestimmen.   ─   el_stefano, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Ich komme auf das Ergebnis:

II 27a + 9b = 9

III 27a + 6b = 3

Nach Eliminieren erhalte ich b = 2 und a = -1/3 und somit

f(X) = -1/3X^3 +2X^2 -4x +3

hast du auch die Gleichung aufgestellt oder kannst du bitte sie überprüfen?

  ─   sedat75, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Die Eingabe bei GeoGebra zeigt an, dass die Funktion richtig ist.

Danke für die Hilfe!

Jetzt die letze Frage: Diskutieren Sie die Funktion. Welche Aufgaben gehören zur Kurvendiskussion ganz konkret?
  ─   sedat75, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Du kannst doch selbst überprüfen, ob sie die Bedingungen erfüllt.   ─   digamma, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen. Ggf. noch Definitionslücken und Asymptoten.   ─   digamma, vor 7 Monaten, 3 Wochen

Vielen Dank!   ─   sedat75, vor 7 Monaten, 3 Wochen

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