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Hallo,
für solche Aufgaben ist es sehr wichtig zu wissen, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker ansteigt/abfällt, als eine Potenzfunktion.
Auch wenn man es nicht wirklich darf, setze ich der zur Anschauung mal \( \infty \) in die Funktion ein.
$$ f(\infty) = \frac \infty {e^\infty} $$
(wie gesagt streng genommen darf man das so nicht schreiben, weil \( \infty \) keine Zahl ist).
Nun geht ja \( e^\infty \) auch gegen \( \infty \). Allerdings steigt diese Funktion viel viel schneller an. Deshalb überwiegt die Exponentialfunktion. Da \( e^\infty \) gegen \( \infty \) geht, geht \( \frac 1 {e^\infty} \) gegen?
Genau das Ergebnis ist dann hier dein Grenzwert. Du kannst dir das vielleicht auch einmal mit einem Bild verinnerlichen:
global gesehen sieht diese Funktion fast so aus, wie eine Exponentialfunktion. Nur um die Null herum (dort wo ich den graphen schraffiert habe), hat die Potenzfunktion noch einen wirklich bemerkbaren Einfluss. Umso mehr wir an den Rand des Bildes gehen, desto mehr sieht die Funktion aus wie \(e^{-x} \).
Grüße Christian
für solche Aufgaben ist es sehr wichtig zu wissen, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker ansteigt/abfällt, als eine Potenzfunktion.
Auch wenn man es nicht wirklich darf, setze ich der zur Anschauung mal \( \infty \) in die Funktion ein.
$$ f(\infty) = \frac \infty {e^\infty} $$
(wie gesagt streng genommen darf man das so nicht schreiben, weil \( \infty \) keine Zahl ist).
Nun geht ja \( e^\infty \) auch gegen \( \infty \). Allerdings steigt diese Funktion viel viel schneller an. Deshalb überwiegt die Exponentialfunktion. Da \( e^\infty \) gegen \( \infty \) geht, geht \( \frac 1 {e^\infty} \) gegen?
Genau das Ergebnis ist dann hier dein Grenzwert. Du kannst dir das vielleicht auch einmal mit einem Bild verinnerlichen:
global gesehen sieht diese Funktion fast so aus, wie eine Exponentialfunktion. Nur um die Null herum (dort wo ich den graphen schraffiert habe), hat die Potenzfunktion noch einen wirklich bemerkbaren Einfluss. Umso mehr wir an den Rand des Bildes gehen, desto mehr sieht die Funktion aus wie \(e^{-x} \).
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Genau. :)
Ja Brüche können auch oft zu Problemen führen. Deshalb ist es auch wichtig sich zu merken, dass wir hier den Grenzwert so bestimmen können, weil im Nenner eine Exponentialfunktion steht.
Du kannst ja sonst mal testweise die Grenzwerte von
$$ g(x) = \frac {e^x} x $$
bestimmen. Falls ihr gebrochenrationale Funktionen hattet, auch gerne von
$$ h(x) = \frac {3x^2+x} {x^4 -2} $$
Zur Übung mit Brüchen. Natürlich nur wenn du willst ;) ─ christian_strack 28.02.2021 um 17:20
Ja Brüche können auch oft zu Problemen führen. Deshalb ist es auch wichtig sich zu merken, dass wir hier den Grenzwert so bestimmen können, weil im Nenner eine Exponentialfunktion steht.
Du kannst ja sonst mal testweise die Grenzwerte von
$$ g(x) = \frac {e^x} x $$
bestimmen. Falls ihr gebrochenrationale Funktionen hattet, auch gerne von
$$ h(x) = \frac {3x^2+x} {x^4 -2} $$
Zur Übung mit Brüchen. Natürlich nur wenn du willst ;) ─ christian_strack 28.02.2021 um 17:20
Wenn ich nun x gegen minus unendlich sterben lasse, müssten die Werte für f dann gegen minus unendlich streben.
Leider brauche ich bei solchen Aufgaben etwas länger, da mich der Bruch irritiert.
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
Liebe Grüße ─ matheasker 28.02.2021 um 16:20