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Betrachte das Folgenglied \(c_{n+1}\) indem du zu dessen Berechnung die Rekursionsvorschrift verwendest. Benutze nun für die vorherigen Folgenglieder die Induktionsvorraussetzung \(c_n = a + \sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i (b-a) \) und versuche den Ausdruck zu \(c_{n+1} = \frac{1}{2} (c_n + c_{n-1} = ... = a + \sum_{i=0}^{n} (-\frac{1}{2})^i (b-a)\) umzuformen.
Übrigens ist das ganze natürlich umgekehrt möglich, also \(c_{n+1} = a + \sum_{i=0}^{n} (-\frac{1}{2})^i (b-a) = ... = \frac{1}{2} (c_n + c_{n-1}\), indem du die Summe auseinanderziehst und mit Indexshifts usw. auf die richtige Form bringst.
Noch ein kleiner Hinweis/Tipp: \( (-\frac{1}{2})^i = -2 (-\frac{1}{2}) (-\frac{1}{2})^{i} = -2(-\frac{1}{2})^{i+1}\)
Übrigens ist das ganze natürlich umgekehrt möglich, also \(c_{n+1} = a + \sum_{i=0}^{n} (-\frac{1}{2})^i (b-a) = ... = \frac{1}{2} (c_n + c_{n-1}\), indem du die Summe auseinanderziehst und mit Indexshifts usw. auf die richtige Form bringst.
Noch ein kleiner Hinweis/Tipp: \( (-\frac{1}{2})^i = -2 (-\frac{1}{2}) (-\frac{1}{2})^{i} = -2(-\frac{1}{2})^{i+1}\)
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posix
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Diesen Ansatz hatte ich bereits verfolgt aber möglicherweise einen Fehler gemacht.
Mit \(c_{n+1} = \frac{1}{2}(c_{n} + c_{n-1})\)
erhalte ich
\(\frac{1}{2}(a+ \sum_{i = 0}^{n-1}(- \frac {1}{2})^i(b-a) + a + \sum_{i=0}^{n-2})(- \frac{1}{2})(b-a))\)
da mein Ziel ist (glaube ich jedenfalls) die Gleichung in \(c_{n+1} = a+\sum_{i = 0}^{n}(\frac{1}{2})^i)(b-a)\) umzuwandeln habe ich ein Summenglied der ersten Summenfolge herausgezogen um dann beide Summenfolgen zusammen zu setzen:
\(\frac{1}{2}(2a+\sum_{i=0}^{n-2}2((-\frac{1}{2})^i)(b-a)) + (-\frac{1}{2})^{n-1}(b-a)\)
Dann habe ich die 2 in der Summenfolge herausgezogen und das Summenglied wieder zur Summe hinzugefügt:
\(\frac{1}{2}(2a+2\sum_{i=0}^{n-1}(-\frac{1}{2})^i(b-a))\)
Nach dem Ausmultiplizieren erhalte ich:
\(a+\sum_{i=0}^{n-1}(-\frac{1}{2})^i)(b-a)\)
Das Ergebnis sieht zwar richtig aus aber die Summe müsste bis \(c_{n}\) gehen und nicht bis \(c_{n-1}\) oder nicht?
─ cazo0 05.04.2021 um 17:09
Mit \(c_{n+1} = \frac{1}{2}(c_{n} + c_{n-1})\)
erhalte ich
\(\frac{1}{2}(a+ \sum_{i = 0}^{n-1}(- \frac {1}{2})^i(b-a) + a + \sum_{i=0}^{n-2})(- \frac{1}{2})(b-a))\)
da mein Ziel ist (glaube ich jedenfalls) die Gleichung in \(c_{n+1} = a+\sum_{i = 0}^{n}(\frac{1}{2})^i)(b-a)\) umzuwandeln habe ich ein Summenglied der ersten Summenfolge herausgezogen um dann beide Summenfolgen zusammen zu setzen:
\(\frac{1}{2}(2a+\sum_{i=0}^{n-2}2((-\frac{1}{2})^i)(b-a)) + (-\frac{1}{2})^{n-1}(b-a)\)
Dann habe ich die 2 in der Summenfolge herausgezogen und das Summenglied wieder zur Summe hinzugefügt:
\(\frac{1}{2}(2a+2\sum_{i=0}^{n-1}(-\frac{1}{2})^i(b-a))\)
Nach dem Ausmultiplizieren erhalte ich:
\(a+\sum_{i=0}^{n-1}(-\frac{1}{2})^i)(b-a)\)
Das Ergebnis sieht zwar richtig aus aber die Summe müsste bis \(c_{n}\) gehen und nicht bis \(c_{n-1}\) oder nicht?
─ cazo0 05.04.2021 um 17:09
Du kannst das Summenglied nicht einfach wieder in die Summe ziehen, da der Faktor 2 fehlt.
Ich würde zuerst das \(n-1\)-te Summenglied hinzufügen und wieder abziehen (den Faktor \((b-a)\) hab ich im folgenden ausgeklammert), also \[2\sum_{i=0}^{n-2} (-\frac{1}{2})^i + (-\frac{1}{2})^{n-1}= 2\sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i \; - 2(-\frac{1}{2})^{n-1} + (-\frac{1}{2})^{n-1} =\\ =2 \sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i \; -(-\frac{1}{2})^{n-1} = 2 \sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i \; + 2 (-\frac{1}{2})^n \;\]
Der hintere Summand kann nun einfach als n-ter Summand in die Summe gezogen werden und man erhält das gewünschte Ergebnis. ─ posix 05.04.2021 um 17:52
Ich würde zuerst das \(n-1\)-te Summenglied hinzufügen und wieder abziehen (den Faktor \((b-a)\) hab ich im folgenden ausgeklammert), also \[2\sum_{i=0}^{n-2} (-\frac{1}{2})^i + (-\frac{1}{2})^{n-1}= 2\sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i \; - 2(-\frac{1}{2})^{n-1} + (-\frac{1}{2})^{n-1} =\\ =2 \sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i \; -(-\frac{1}{2})^{n-1} = 2 \sum_{i=0}^{n-1} (-\frac{1}{2})^i \; + 2 (-\frac{1}{2})^n \;\]
Der hintere Summand kann nun einfach als n-ter Summand in die Summe gezogen werden und man erhält das gewünschte Ergebnis. ─ posix 05.04.2021 um 17:52
Das leuchtet ein!
Ich bedanke mich! ─ cazo0 05.04.2021 um 18:01
Ich bedanke mich! ─ cazo0 05.04.2021 um 18:01