Die Formel die du gefunden hast, ist dafür gut die Länge eines Funktionsgraphen, einer Funktion \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \). Jetzt willst du aber die Länge einer Kurve \( \gamma = (\gamma_1,...,\gamma_n) : [a,b] \rightarrow \mathbb{R^n} \) berechnen. Dafür bietet sich die Formel für (stetig differenzierbare) Kurven an: \( L(\gamma,[a,b]) = \int_a^b \Vert \gamma'(t)\Vert_2 dt\), wobei \(\gamma'(t) = (\gamma_1'(t),...,\gamma_n'(t)). \) . Daher kommt tatsächlich auch die Formel die du gefunden hast. Der Graph einer Funktion \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) ist ja nichts anderes als der Graph einer Kurve \(\gamma(x) = (x,f(x)) \), hier wäre \( \Vert \gamma'(x)\Vert_2 = \Vert 1+f'(x) \Vert_2 = \sqrt{1+f'(x)^2} \)
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