Wie kann ich diese Notation verstehen?

Aufrufe: 58     Aktiv: 13.03.2021 um 21:19

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Hallo Zusammen

Wir haben gerade mit dem Thema Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen angefangen. Dabei haben wir definiert wann eine Funktion \(f:U\rightarrow \mathbb{R}^d, U\subset \mathbb{R}^n\) differenzierbar an einem Punkt \(a\in U\) ist, nämlich genau dann wenn \(lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}=0\). Dabei Ist L eine Lineare Abbildung und wir nennen sie das Differential von f in a. Notation wäre: \(df|_a(h)\). Nun weiss ich aber nicht genau was dann dieses h und a soll. Also heisst das wir haben eine Lineare Funktion die nur von h abhängt und an der Stelle a ausgewerted wird, oder heisst das die Lineare Funktion ist von h abhänig und stetig an der Stelle a? 

Könnte mir das jemand erklären denn irgendwie habe ich bei dieser Notation noch nicht so den Durchblick, vorallem da es auch neu ist, dass man bei einer Ableitung nicht mehr nur eine Zahl bekommt, die die Steigung angibt sondern gleich eine gesamte Funktion die in der Nähe von a die Steigung angibt.

Vielen Dank für eure Hilfe.

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\( f \) ist differenzierbar an einer Stelle \( a \), wenn es passend zu dieser Stelle \( a \) eine lineare Abbildung \( L \) gibt, sodass \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - L(h)}{\vert h \vert} = 0 \) gilt. Zu einem anderen \( a \) erhälst du dann im Allgemeinen auch ein anderes \( L \), d.h. die lineare Abbildung \( L \) hängt immer von der Stelle \( a \) ab.
Die lineare Abbildung \( L \), die wir für die Stelle \( a \) bekommen, bezeichnen wir mit \( df \vert_a \) und nennen diese Abbildung das Differential von \( f \) an der Stelle \( a \).
Das Differential von \( f \) an der Stelle \( a \) ist also eine Funktion, in die man nun Werte einsetzen kann. Per Definition gilt dann \( df \vert_a (h) = L(h) \) (Achtung: Das \( h \) ist hier nicht das gleiche wie oben im Limes).
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Hallo, also habe ich das richtig verstanden, \(df|_a\) sagt mir, an welcher stelle dieses Differential an die Funktion "angelegt" wird und h ist dann eigentlich einfach noch die variabel die man einsetzen tut also wie das x in der Funktion \(f(x)=x^2\)?   ─   karate 13.03.2021 um 21:00

Ja, das kann man so sagen.   ─   anonym 13.03.2021 um 21:01

Okei dann noch kurz was, wir wissen ja dass \(L:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\) geht, sprich es müsste ja als Eingabevektor der Funktion ein Element aus \(\mathbb{R}^n\) gewählt werden, doch dieses hat ja n Komponenten. Ist dann \(h \in \mathbb{R}^n\)? denn sonst würde das Ganze doch nicht wirklich viel Sinn machen oder?   ─   karate 13.03.2021 um 21:07

Nach der Notation, die du angegeben hast, müsste es \( L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^d \) sein. Aber deine Überlegung ist völlig richtig: Es ist \( h \in \mathbb{R}^n \).   ─   anonym 13.03.2021 um 21:17

ah ja sorry das habe ich übersehen, aber vielen Dank für die Hilfe.   ─   karate 13.03.2021 um 21:18

Gerne :)   ─   anonym 13.03.2021 um 21:19

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