Der Schritt mit dem \(e^x\) ausklammern war irgendwie unnötig, du hättest gleich in der Form \(\frac{(e^x)^2-2e^x}{(e^x)^2+1}\) substituieren können. Beim ersten Integral müsste noch \(dx\) statt \(dz\) stehen, bei den anderen Integralen hast du das \(dx\) bzw. \(dz\) vergessen. Ansonsten sieht das aber gut aus. Weißt du, wie du jetzt weitermachen kannst?

Teile den Bruch auf:

\(\displaystyle{\int \dfrac{z-2}{z^2+1} dz=\int \dfrac{z}{z^2+1} dz-2\cdot \int \dfrac{1}{z^2+1} dz}\)

Dann bekommst du im hinteren Integral schon einmal den \(\arctan\) als Stammfunktion. Im vorderen Integral substituierst du mal \(u=z^2+1\). Dann solltest du den Rest hinbekommen ;).

Am Ende nicht vergessen alle Rücksubstitutionen wieder einzusetzen.

Hoffe das hilft weiter.