Schwierige Gleichung

Aufrufe: 1061     Aktiv: 26.03.2020 um 14:38

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Ich möchte die Nullstellen dieser Funktion bestimmen. Mit der Polynomdivisiom geht es nicht. Das habe ich versucht. Wie soll ich es dann lösen? Ich möchte es nicht mit dem Näherungsverfahren rausbekommen.
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Diese Funktion gat keine rationalen Nullstellen, deshalb können wir sie schlecht raten.

Es gibt ein Lösungsverfahren für kubische Gleichungen, dass in der Schule allerdings nicht gelehrt wird, weil es nicht ganz einfach ist und komplexe Zahlen nötig sind:

Zunächst teilen wir durch 4, um den Koeffizienten vor \(x^3\) zu einer 1 zu machen:

\(x^3-\frac32x^2-\frac14x+\frac12=0\)

Nun verwenden wir die Substitution \(x=z-\frac{-\frac32}3=z+\frac12\), um den quadratischen Term verschwinden zu lassen: 

\(0=(z+\frac12)^3-\frac32(z+\frac12)^2-\frac14(z+\frac12)+\frac12=z^3-\frac{59}4z-\frac{27}4\Longleftrightarrow z^3=\frac{59}4z+\frac{27}4\)

Als nächstes führen wir die Substitution \(z=u+v\) durch und erhalten

\(z^3=(u+v)^3=u^3+3uv(u+v)+v^3=3uvz+u^3+v^3\overset!=\frac{59}4z+\frac{27}4\)

Koeffizientenvergleich liefert \(u^3+v^3=\frac{27}4\) und \(3uv=\frac{59}4\Longleftrightarrow u^3v^3=(\frac{59}{12})^3\)

Nach dem Satz von Vieta sind \(u^3\) und \(v^3\) Nullstellen der sog. quadratischen Resolvente

\(t^2-\frac{27}4t+(\frac{59}{12})^3=0, \) also \(u,v=\sqrt[3]{\frac{27}8\pm\sqrt{\frac{27^2}{64}-(\frac{59}{12})^3}}.\)

Folglich sind die drei Lösungen der kubischen Gleichung

\(x=\frac12+\sqrt[3]{\frac{27}8+\sqrt{(\frac{27}8)^2-(\frac{59}{12})^3}}+\sqrt[3]{\frac{27}8-\sqrt{(\frac{27}8)^2-(\frac{59}{12})^3}}\),

wobei wir die komplexen dritten Wurzeln immer so wählen müssen, dass sie Konjugierte zueinander sind.

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Wunderschön! Ich hatte ja zu viel Sorge alin damit zu sehr einzuschüchtern. +1 für diese klassische Lösungsmethode :-)   ─   monil 26.03.2020 um 13:34

Danke;)   ─   math1234 26.03.2020 um 14:38

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Da man keine Lösung "raten" kann und somit keine Polynomdivision möglich ist, bleibt dir leider nur das Näherungsverfahren übrig.

 

Dazu hier Daniels Erklärvideo:

https://www.youtube.com/watch?v=LUhg7rrP39Y

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Hallo,

julianb hat Recht. Leider hat diese Funktion keine Nullstelle in den rationalen Zahlen \(\Bbb{Q}\). Das kann man mit online Tools wie z.B. auf mathway.com nachprüfen...

Viele Grüße,

MoNil

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