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Diese Funktion gat keine rationalen Nullstellen, deshalb können wir sie schlecht raten.
Es gibt ein Lösungsverfahren für kubische Gleichungen, dass in der Schule allerdings nicht gelehrt wird, weil es nicht ganz einfach ist und komplexe Zahlen nötig sind:
Zunächst teilen wir durch 4, um den Koeffizienten vor \(x^3\) zu einer 1 zu machen:
\(x^3-\frac32x^2-\frac14x+\frac12=0\)
Nun verwenden wir die Substitution \(x=z-\frac{-\frac32}3=z+\frac12\), um den quadratischen Term verschwinden zu lassen:
\(0=(z+\frac12)^3-\frac32(z+\frac12)^2-\frac14(z+\frac12)+\frac12=z^3-\frac{59}4z-\frac{27}4\Longleftrightarrow z^3=\frac{59}4z+\frac{27}4\)
Als nächstes führen wir die Substitution \(z=u+v\) durch und erhalten
\(z^3=(u+v)^3=u^3+3uv(u+v)+v^3=3uvz+u^3+v^3\overset!=\frac{59}4z+\frac{27}4\)
Koeffizientenvergleich liefert \(u^3+v^3=\frac{27}4\) und \(3uv=\frac{59}4\Longleftrightarrow u^3v^3=(\frac{59}{12})^3\)
Nach dem Satz von Vieta sind \(u^3\) und \(v^3\) Nullstellen der sog. quadratischen Resolvente
\(t^2-\frac{27}4t+(\frac{59}{12})^3=0, \) also \(u,v=\sqrt[3]{\frac{27}8\pm\sqrt{\frac{27^2}{64}-(\frac{59}{12})^3}}.\)
Folglich sind die drei Lösungen der kubischen Gleichung
\(x=\frac12+\sqrt[3]{\frac{27}8+\sqrt{(\frac{27}8)^2-(\frac{59}{12})^3}}+\sqrt[3]{\frac{27}8-\sqrt{(\frac{27}8)^2-(\frac{59}{12})^3}}\),
wobei wir die komplexen dritten Wurzeln immer so wählen müssen, dass sie Konjugierte zueinander sind.
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