Zum Teilproblem wie man einen Vektor senkrecht zur Ebene findet:

Sei (a,b,c,d) der gesuchte Vektor.

Dann bauen wir uns eine Matrix A mit 3 Zeilen und 4 Spalten wie folgt:

In die erste Zeile kommt der erste Vektor der Ebene, (1,1,1,1), nur halt als zeilenvektor aufgefasst.

2. Zeile der Matrix ist dann der 2. Vektor der Ebene, (1,1,1,0) .

3. zeile der Matrix entsprechend der 3. Vektor der Ebene.

Um nun unseren Vektor (a,b,c,d) zu finden, musst du das LGS

A*(a,b,c,d)=(0,0,0) lösen.

Hierzu kannst du den altbekannten Gauß Jordan Algorithmus anwenden.

Du wirst naturgemäß unendlich viele Lösungsvektoren finden, ssuch dir einfahc einen davon raus (indem du bspw. a=1 setzt und die zugehörigen b,c und d bestimmst).

 

mit dem willkürlich rausgepickten vektor musst du ihn nur noch auf Länge 1 normieren indem du durch seinen Betrag teilst :-)

Ein Vektor steht senkrecht zu einem anderen, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Wenn Du also für jeden Spannvektor das Skalarprodukt mit dem gesuchten Vektor bildest, bekommst Du ein LGS, das Du lösen kannst. Es gibt dann unendlich viele Lösungen, aber nur eine mit der gewünschten Normierung... (die kann man auch als Gleichung ins LGS einbauen...)