Hyperebene Punkt Abstand

Aufrufe: 62     Aktiv: 09.07.2021 um 20:52

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Ich weiss dass ich hier zuerst einen normierter Vektor, der auf H senkrecht steht finden muss. Die Frage ist wie finde ich den Vektor ? 

Vielen Dank :)
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Student, Punkte: 28

 
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Zum Teilproblem wie man einen Vektor senkrecht zur Ebene findet:

Sei (a,b,c,d) der gesuchte Vektor.

Dann bauen wir uns eine Matrix A mit 3 Zeilen und 4 Spalten wie folgt:

In die erste Zeile kommt der erste Vektor der Ebene, (1,1,1,1), nur halt als zeilenvektor aufgefasst.

2. Zeile der Matrix ist dann der 2. Vektor der Ebene, (1,1,1,0) .

3. zeile der Matrix entsprechend der 3. Vektor der Ebene.

Um nun unseren Vektor (a,b,c,d) zu finden, musst du das LGS

A*(a,b,c,d)=(0,0,0) lösen.

Hierzu kannst du den altbekannten Gauß Jordan Algorithmus anwenden.

Du wirst naturgemäß unendlich viele Lösungsvektoren finden, ssuch dir einfahc einen davon raus (indem du bspw. a=1 setzt und die zugehörigen b,c und d bestimmst).

 

mit dem willkürlich rausgepickten vektor musst du ihn nur noch auf Länge 1 normieren indem du durch seinen Betrag teilst :-)

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Wow, sehr verständlich danke
  ─   studentimbett 09.07.2021 um 18:22

Übrigens, wie es weitergehen würde wenn man den Abstand des Punktes zur Ebene haben will:
Mit Punkt und gefundenem Vektor eine Gerade bilden (super easy, duh).
und den Schnittpunkt von gerade und Ebene bestimmen, gibt dir den Lotfußpunkt L oder wie der hieß.
|OP-OL| ist dann dein gesuchter Abstand, halt die Länge des Verbindungsvektors der 2 Punkte :-)
  ─   densch 09.07.2021 um 20:52

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Ein Vektor steht senkrecht zu einem anderen, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Wenn Du also für jeden Spannvektor das Skalarprodukt mit dem gesuchten Vektor bildest, bekommst Du ein LGS, das Du lösen kannst. Es gibt dann unendlich viele Lösungen, aber nur eine mit der gewünschten Normierung... (die kann man auch als Gleichung ins LGS einbauen...)
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Ohhh,okey ich verstehe. Ich versuche es mal. Danke   ─   studentimbett 08.07.2021 um 16:17

Kurz: Man kann auch aus den unbegrenzt vielen Vektoren einen rausnehmen, den dann auf Längen 1 skalieren und dann mit nem Faktor k multiplizieren um einen Vektor mit der Wunschlänge zu erhalten :-)

geht generell so wenn man aus einem vektor einen anderen Vektor in gleicher Richtung, aber anderer Länge haben will :-)
  ─   densch 09.07.2021 um 16:55

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  1. \(\vec n\cdot \pmatrix{1\\1\\1\\1}=0;\vec n\cdot \pmatrix{1\\1\\1\\0}=0;\vec n\cdot \pmatrix{1\\1\\0\\0}=0\Rightarrow \vec n\)
  2. \(\Rightarrow E:\vec n\cdot \vec x=\vec n\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}=d\)
  3. \(g:\vec x=\pmatrix{1\\0\\0\\11}+\lambda \vec n\)
  4. \(\lambda \) aus Schnitt von \(g\) mit \(E\) bestimmen
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Danke, ich verstehe jetzt wie man solche Aufgaben löst
  ─   studentimbett 09.07.2021 um 18:23

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