Gegenwahrscheinlichkeit

Aufrufe: 405     Aktiv: 14.06.2022 um 00:29

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass ich mit einem Würfel eine 6 Würfle?

Gemäss Laplace \( p(A) =  \frac{ \text{Anzahl günstige Fälle}} {\text{Anzahl mögliche Fälle}}  \)

also 1x Würfeln  \( p(A) = \frac{1} {6}  \) 
und 1x Würfeln  \( p(\lnot A) = \frac{5} {6}  \) 

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist  \( p(A) = 1 -  p(\lnot A) \) 
Somit \( \frac{1} {6} = 1 -  \frac{5} {6} \) 
Soweit alles klar und gut.

Aber was passiert wenn 4x gewürfelt wird?
Ich hätte gesagt \( p(A) = \frac{1} {6^4} = \frac{1} {1296} \)  was leider das selbe ist wie  \( p(A) = \frac{1^4} {6^4} = \frac{1} {1296} \)
Folgendes würde aufgehen aber ist es richtig?
\( \frac{1} {6^4} = 1 -  \frac{5} {6^4} \)
Denn gemäss meinen Unterlagen sollte \( p(\lnot A) =  \frac{5^4} {6^4} \) bzw. \( p(\lnot A) =  \frac{5} {6} \cdot \frac{5} {6} \cdot \frac{5} {6} \cdot \frac{5} {6} \) sein.
Was ist nun richtig?
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Häufiger Fehler: losrechnen ohne die Begriffe zu klären.
4x würfeln, ok. Was ist jetzt das Ereignis A? Es kommt hier genau auf die Formulierung an. Jetzt liegt ein anderer Ereignisraum als vorher vor, es muss also ein anderes A sein.
Also? Danach wird gerechnet.
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Hi mikn, danke für deine Zeit. Die Aufgabe lautet: "Sie würfeln 4-mal mit einem Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens einmal eine 6 gewürfelt haben?"   ─   xc12 13.06.2022 um 22:31

(Nein, aber es ist das erste Theoriebeispiel zur Gegenwahrscheinlichkeit in den Unterlagen und ich würde es gerne verstehen). Wie in der Frage bereits erwähnt gehe ich davon aus dass \( \lnot A = \frac{5} {6}\) ist da \( A = \frac{1} {6}\) ist.
  ─   xc12 13.06.2022 um 22:49

in dem Fall \( \lnot A =\text{"bei 4x Würfeln mind. keinmal eine 6"} \) oder in besseren Worten \( \lnot A =\text{"bei 4x Würfeln niemals eine 6"} \) ?   ─   xc12 13.06.2022 um 22:55

\( p(\lnot A) = \frac{5} {6^4} \) und \( p(A) = \frac{1} {6^4} \)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:02

(cool, langsam nähern wir uns meinem Problem und der Lösung :-) ) 1x keine 6 erzielen ist 5/6. 2x yep, da weiss ich eben nicht wie ich das Zählen kann.. ?   ─   xc12 13.06.2022 um 23:09

hmm, ok das bedeutet die 6 kann bei zwei Würfel {(1,6), (2,6)..(6,6)} 11x vorkommen. ich suche nach einer Formel (zum glück habe ich keine Würfel zu Hause sonst würde ich niemals fertig werden)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:24

ja, da hab ich grad mehrere Fehler gemacht. Die Reihenfolge ist auch egal oder?   ─   xc12 13.06.2022 um 23:28

"die raussuchen, die beide Male keine 6 haben" bei 2 Würfeln kann es 6² = 36 unterschiedliche Ergebnisse geben. die Welche eine 6 in der Ergebnismenge haben müssen also kleiner als 36 sein. Die 6 kann also 11x vorkommen. Das würde bedeuten 36-11= 25 x gibt es ein Ergebnis ohne eine 6. und das bedeutet wiederum bei 2 Würfel \( \frac{5^2} {6^2} \) und bei 4 Würfel \( \frac{5^4} {6^4} \) was wiederum bedeutet das meine Unterlagen soweit stimmen. Und wir noch zu meiner letzte Frage kommen. Welche ist das die Gegenwahrscheinlichkeit \(
p
(
A
)
=
1

p
(
¬
A
)
\) für mich noch nicht aufgeht
  ─   xc12 13.06.2022 um 23:34

ich hab sie Aufgeschrieben (sieht in etwa so aus https://i.stack.imgur.com/7HEpM.png), alle 36 Zahlenpaare. 11 der Paare haben eine 6. (mich interessieren die 6en weil ich dann weniger Zählen muss und diese von den 36 abziehen kann, anstatt auf 25 Zählen zu müssen)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:43

hab ich doch weiter oben, bei 2 Würfel 5² = 25 und bei 4 Würfel \( 5^4 = 625\)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:53

nun 25 weil bei einem Würfel kann die 6 genau 5x nicht vorkommen. bei 2 Würfeln, kann wie man in der Zeichnung ablesen kann die 6 genau 25 = 5² mal nicht vorkommen.   ─   xc12 14.06.2022 um 00:02

Eine 1 bis 5 im Ersten Wurf zu werfen hat 5 Möglichkeiten. 1 bis 5 mit zwei Würfen hat 25 Möglichkeiten ? (langsam bekomme ich aber das Gefühl dass du nicht schlafen gehen möchtest :-) )   ─   xc12 14.06.2022 um 00:09

ja ich bin ein dickschädel @mikn. das hätte ich dir schon ganz früh sagen könne. ich sehe schon seitdem du mich aufgefordert hast die Zahlen paare aufzuschreiben worauf du hinaus möchtest! und dann würde die Lösung auch stimmen. Kannst du mir bitte sagen wie ich es dir hätte erklären sollen? weil es ist nicht nur mein dickschädel sondern ich sehe vielleicht nicht das was ich sehen sollte!? \( P(A) = 1 - P(\lnot A)\) oder? und eben nicht so lösen wie ich es gerne gelöst hätte?   ─   xc12 14.06.2022 um 00:21

danke dir vielmals mikn! gute nacht   ─   xc12 14.06.2022 um 00:26

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Die Frage war: ""Sie würfeln 4-mal mit einem Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens einmal eine 6 gewürfelt haben?"

Das bei solchen Aufgaben immer wiederkehrende Motiv ist, dass man für "mindestens einmal" das Gegenereignis "genau null mal" verwenden kann.
Das kann man sich vielleicht über folgendes Bildchen klar machen:

Also ist doch P(X>=1) = 1 - P(X=0)
und für P(X=0) müsstest du jetzt die entsprechende Wahrscheinlichkeit berechnen... 
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Danke für deine Antwort mathehoch13. Ich glaube ich habe es nun dank mikns hilfe begriffen.   ─   xc12 14.06.2022 um 00:29

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