Gegenwahrscheinlichkeit

Aufrufe: 226     Aktiv: 14.06.2022 um 00:29

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass ich mit einem Würfel eine 6 Würfle?

Gemäss Laplace \( p(A) =  \frac{ \text{Anzahl günstige Fälle}} {\text{Anzahl mögliche Fälle}}  \)

also 1x Würfeln  \( p(A) = \frac{1} {6}  \) 
und 1x Würfeln  \( p(\lnot A) = \frac{5} {6}  \) 

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist  \( p(A) = 1 -  p(\lnot A) \) 
Somit \( \frac{1} {6} = 1 -  \frac{5} {6} \) 
Soweit alles klar und gut.

Aber was passiert wenn 4x gewürfelt wird?
Ich hätte gesagt \( p(A) = \frac{1} {6^4} = \frac{1} {1296} \)  was leider das selbe ist wie  \( p(A) = \frac{1^4} {6^4} = \frac{1} {1296} \)
Folgendes würde aufgehen aber ist es richtig?
\( \frac{1} {6^4} = 1 -  \frac{5} {6^4} \)
Denn gemäss meinen Unterlagen sollte \( p(\lnot A) =  \frac{5^4} {6^4} \) bzw. \( p(\lnot A) =  \frac{5} {6} \cdot \frac{5} {6} \cdot \frac{5} {6} \cdot \frac{5} {6} \) sein.
Was ist nun richtig?
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Häufiger Fehler: losrechnen ohne die Begriffe zu klären.
4x würfeln, ok. Was ist jetzt das Ereignis A? Es kommt hier genau auf die Formulierung an. Jetzt liegt ein anderer Ereignisraum als vorher vor, es muss also ein anderes A sein.
Also? Danach wird gerechnet.
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Hi mikn, danke für deine Zeit. Die Aufgabe lautet: "Sie würfeln 4-mal mit einem Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens einmal eine 6 gewürfelt haben?"   ─   xc12 13.06.2022 um 22:31

Aha. Und solcherlei berechnet man am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit. Also: wie lautet das Ereignis $\neg A$?   ─   mikn 13.06.2022 um 22:46

(Nein, aber es ist das erste Theoriebeispiel zur Gegenwahrscheinlichkeit in den Unterlagen und ich würde es gerne verstehen). Wie in der Frage bereits erwähnt gehe ich davon aus dass \( \lnot A = \frac{5} {6}\) ist da \( A = \frac{1} {6}\) ist.
  ─   xc12 13.06.2022 um 22:49

A ist ein Ereignis, keine Zahl. Halte die Objekte klar auseinander, sonst kann das Verstehen nicht klappen. A: "bei 4x Würfeln mind. einmal eine 6". Wie lautet das Gegenereignis, logisch $\neg A$? Nochmal: erst danach(!!!) ist Rechnen sinnvoll.   ─   mikn 13.06.2022 um 22:52

in dem Fall \( \lnot A =\text{"bei 4x Würfeln mind. keinmal eine 6"} \) oder in besseren Worten \( \lnot A =\text{"bei 4x Würfeln niemals eine 6"} \) ?   ─   xc12 13.06.2022 um 22:55

Gut, die Version mit den besseren Worten. Damit kannst Du jetzt $p(\neg A)$ berechnen. Und daraus danach dann $p(A)$. Also?   ─   mikn 13.06.2022 um 22:59

\( p(\lnot A) = \frac{5} {6^4} \) und \( p(A) = \frac{1} {6^4} \)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:02

Nein. Du rätst anscheinend. Wie groß ist die W, bei 1x keine 6 zu erzielen? Wie groß bei 2x.... wie groß bei 4x? Schreib die Ereignisse (geworfene Zahlen) alle auf, bei 2x Würfeln geht das noch, und zähl ab.   ─   mikn 13.06.2022 um 23:04

(cool, langsam nähern wir uns meinem Problem und der Lösung :-) ) 1x keine 6 erzielen ist 5/6. 2x yep, da weiss ich eben nicht wie ich das Zählen kann.. ?   ─   xc12 13.06.2022 um 23:09

Es freut mich, dass Du die Zielrichtung erkennst. 1x stimmt. Bei 2x-Würfeln lauten die Ereignisse (1,1),...., (6,6). Jetzt darunter die raussuchen, die beide Male keine 6 haben, das sind die für $\neg A$ günstigen Ereignisse, abzählen und die Formel ganz oben ("gemäß Laplace...") anwenden. Dann haben wir's für 2x Würfeln   ─   mikn 13.06.2022 um 23:16

hmm, ok das bedeutet die 6 kann bei zwei Würfel {(1,6), (2,6)..(6,6)} 11x vorkommen. ich suche nach einer Formel (zum glück habe ich keine Würfel zu Hause sonst würde ich niemals fertig werden)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:24

Wir sind bei $\neq A$, es darf nie eine 6 vorkommen.   ─   mikn 13.06.2022 um 23:27

ja, da hab ich grad mehrere Fehler gemacht. Die Reihenfolge ist auch egal oder?   ─   xc12 13.06.2022 um 23:28

"die raussuchen, die beide Male keine 6 haben" bei 2 Würfeln kann es 6² = 36 unterschiedliche Ergebnisse geben. die Welche eine 6 in der Ergebnismenge haben müssen also kleiner als 36 sein. Die 6 kann also 11x vorkommen. Das würde bedeuten 36-11= 25 x gibt es ein Ergebnis ohne eine 6. und das bedeutet wiederum bei 2 Würfel \( \frac{5^2} {6^2} \) und bei 4 Würfel \( \frac{5^4} {6^4} \) was wiederum bedeutet das meine Unterlagen soweit stimmen. Und wir noch zu meiner letzte Frage kommen. Welche ist das die Gegenwahrscheinlichkeit \(
p
(
A
)
=
1

p
(
¬
A
)
\) für mich noch nicht aufgeht
  ─   xc12 13.06.2022 um 23:34

Wenn Du meinen Tipps folgen würdest, ginge es schneller. Und es ist schon spät.
Also nochmal: Schreibe die Ereignisse explizit auf, die uns hier interessieren (bei 2x Würfeln). Auf geht's. Dann zählst Du die ab. Es geht um Zahlenpaare, ja insgesamt 36.
Ich weiß nicht, warum Du die 6en zählst, wenn es Dich interessiert, dass keine auftreten dürfen. Ja, 25 stimmt, aber zum 3. Mal: Schreibe die Paare alle auf.
  ─   mikn 13.06.2022 um 23:37

ich hab sie Aufgeschrieben (sieht in etwa so aus https://i.stack.imgur.com/7HEpM.png), alle 36 Zahlenpaare. 11 der Paare haben eine 6. (mich interessieren die 6en weil ich dann weniger Zählen muss und diese von den 36 abziehen kann, anstatt auf 25 Zählen zu müssen)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:43

Du sollst ja auch nicht zählen, sondern mitdenken. Am Schema solltest Du sehen, wieviele es sind. Deine Methode (mit den 11 Sechsen) lässt sich nicht so leicht auf mehr Würfe übertragen. Also bitte: Zähle direkt und erkläre, warum 25.   ─   mikn 13.06.2022 um 23:52

hab ich doch weiter oben, bei 2 Würfel 5² = 25 und bei 4 Würfel \( 5^4 = 625\)   ─   xc12 13.06.2022 um 23:53

Das schien mir geraten, deshalb sag ich "erkläre, warum 25". Bei dieser Aufgabe kannst und sollst Du einiges lernen, was man immer bei diesen Würfel-Aufgaben braucht. Also: erkläre anhand der aufgeschriebenen Ereignisse. Warum 25?   ─   mikn 13.06.2022 um 23:57

nun 25 weil bei einem Würfel kann die 6 genau 5x nicht vorkommen. bei 2 Würfeln, kann wie man in der Zeichnung ablesen kann die 6 genau 25 = 5² mal nicht vorkommen.   ─   xc12 14.06.2022 um 00:02

Warum zählst Du die Nicht-Vorkommen? Ist Dir aufgefallen, dass nicht-6 heißt: es darf nur 1 bis 5 vorkommen? Wievielei Möglichkeiten 1 bis 5 zu werfen gibt es im 1. Wurf? Wieviele im zweiten alleine? Wieviele in der Kombination.

  ─   mikn 14.06.2022 um 00:06

Eine 1 bis 5 im Ersten Wurf zu werfen hat 5 Möglichkeiten. 1 bis 5 mit zwei Würfen hat 25 Möglichkeiten ? (langsam bekomme ich aber das Gefühl dass du nicht schlafen gehen möchtest :-) )   ─   xc12 14.06.2022 um 00:09

Da Du die Zahlen richtig hast, aber nicht erklären kannst, gehe ich davon aus, dass Du es noch nicht wirklich verstanden hast. Aber gegen Deinen Widerstand komme ich gerade nicht an.
Also, wir haben jetzt $p(\neg A)=\frac{5^4}{6^4}$. Was ist dann $P(A)$, das ist ja in der Aufgabe gesucht?
  ─   mikn 14.06.2022 um 00:16

ja ich bin ein dickschädel @mikn. das hätte ich dir schon ganz früh sagen könne. ich sehe schon seitdem du mich aufgefordert hast die Zahlen paare aufzuschreiben worauf du hinaus möchtest! und dann würde die Lösung auch stimmen. Kannst du mir bitte sagen wie ich es dir hätte erklären sollen? weil es ist nicht nur mein dickschädel sondern ich sehe vielleicht nicht das was ich sehen sollte!? \( P(A) = 1 - P(\lnot A)\) oder? und eben nicht so lösen wie ich es gerne gelöst hätte?   ─   xc12 14.06.2022 um 00:21

Ja, $P(A)=1-\frac{5^4}{6^4}$, fertig,
Kombinatorik: 1. Wurf: 5 Möglichkeiten, 2. Wurf: 5 Möglichkeiten. Einmal mit 2 Würfeln (ist gleichbedeutend mit 2xgewürfelt): 5 mal 5 =25. Diese Rechnung kommt ständig vor. Gute Nacht
  ─   mikn 14.06.2022 um 00:25

danke dir vielmals mikn! gute nacht   ─   xc12 14.06.2022 um 00:26

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Die Frage war: ""Sie würfeln 4-mal mit einem Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens einmal eine 6 gewürfelt haben?"

Das bei solchen Aufgaben immer wiederkehrende Motiv ist, dass man für "mindestens einmal" das Gegenereignis "genau null mal" verwenden kann.
Das kann man sich vielleicht über folgendes Bildchen klar machen:

Also ist doch P(X>=1) = 1 - P(X=0)
und für P(X=0) müsstest du jetzt die entsprechende Wahrscheinlichkeit berechnen... 
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Danke für deine Antwort mathehoch13. Ich glaube ich habe es nun dank mikns hilfe begriffen.   ─   xc12 14.06.2022 um 00:29

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