Alles klar. Du hast also die Potenzreihe

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac {n^3 \cdot 2^{1-k}} {4n^3-2} \cdot (2 \cdot x+4)^{3 \cdot n+5} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {n^3 \cdot 2^{1-k}} {4n^3-2} \cdot 2^{3 \cdot n + 5}  (  x+2)^{3 \cdot n+5} \\ =  \sum_{n=0}^{\infty} 2^{6-k } \frac {n^3 \cdot 2^{3n}} {4n^3-2}   (  x+2)^{3 \cdot n+5}  $$

Um den Konvergenzradius solcher Potenzreihen zu bestimmen, müssen wir auf die Formel von Cauchy-Hadamard zurückgreifen, denn das Quotientenkriterium funktioniert hier nicht mehr.

$$ r = \frac 1 {\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} $$

Diese Formel nimmt den größten aller Häufungspunkte (\(\limsup \)) der Folge \( \sqrt[n]{|a_n|} \).

Nun können wir aber nicht einfach 

$$ a_n = 2^{6-k } \frac {n^3 \cdot 2^{3n}} {4n^3-2}   $$

setzen. Den wenn wir die ersten Glieder unserer Reihe mit den ersten 5 Potenzen von \( (x+2)^i \) aufschreiben erhalten wir

$$ 2^{6-k }(0x^0 + 0 (x+2)^1 + 0 (x+2)^2 + 0 (x+2)^3 + 0 (x+2)^4 + \frac {0^3 \cdot 2^0} {-2} (x+2)^5 + 0 x^6 + \ldots + 0x^7 + \frac {2^3} 2 (x+2)^8 + \ldots ) $$

Dadurch, das unsere \( (x+2) \) nicht einfach ein \( n \) als Potenz hat, sondern \( 3n+5 \), haben wir unendlich viele Reihenglieder. Wir können unsere Reihe umschreiben zu

$$ \Rightarrow  \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x+2)^n $$

mit

$$ a_n := \left\{ \begin{matrix} 2^{6-k } \frac {(\frac {n-5} 3)^3 \cdot 2^{3\cdot \frac {n-5} 3}} {4(\frac {n-5} 3)^3 - 2} & \text{für} \ n=3i+5 \ \text{mit} \ i \in \mathbb{N} \\ 0 & \text{sonst} \end{matrix} \right. $$

Wir haben also bei solchen Potenzenreihen immer mindestens den Häufungspunkt Null, denn es gibt unendlich viele Folgeglieder die Null sind.

Nun kannst du alle Häufungspunkte von \( \sqrt[n]{|a_n|} \) berechnen. Von dem größten nimmst du den Kehrwert und hast deinen Radius.

Aber auf deinen angegebenen Konvergenzradius komme ich aber trotzdem nicht.

Grüße Christian