Sei \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \) ein Vektor mit den gewünschten Eigenschaften.

Der Vektor \(x\) steht genau dann senkrecht auf dem Vektor \( a= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \), wenn das Skalarprodukt Null ist, also wenn \( x_1a_1 + x_2a_2 = x \cdot a = 0 \) ist. Somit erhalten wir \(x_2 = - \frac{x_1a_1}{a_2} \), also \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ - \frac{x_1a_1}{a_2} \end{pmatrix} = \frac{x_1}{a_2} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix}\).

Für die Länge gilt nun \( \|x\| = \| \frac{x_1}{a_2} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix} \| = \vert \frac{x_1}{a_2} \vert \cdot \| \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix} \| = \vert \frac{x_1}{a_2} \vert \cdot \| \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \| = \vert \frac{x_1}{a_2} \vert \cdot \|a\| \). Wir möchten, dass \( \|x\| = \frac{1}{2} \|a\| \) ist, also muss \( \vert \frac{x_1}{a_2} \vert = \frac{1}{2} \) bzw. \( \vert x_1 \vert = \frac{ \vert a_2 \vert}{2}\) sein. Eine mögliche Wahl wäre hier \( x_1 = \frac{a_2}{2} \). Damit erhalten wir dann \( x = \frac{x_1}{a_2} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix} \).

Der Vektor \( \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix} \) erfüllt also die gewünschten Eigenschaften.