Ist keine vollständige Lösung, aber man kann zeigen (und das ist aber die rechnerische Aufgabe), dass unter allen beliebigen Dreiecken das gleichseitige Dreieck die Dreiecksform mit dem größten Flächeninhalt ist.

Der Beweis dafür folgt tatsächlich aus der heronschen Flächenformel.

\( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) und

\( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{u}{2} \)

Jetzt kann man den Hinweis verwenden und die Wurzel vernachlässigen, wenn man das Maximum des Flächeninhaltes bestimmen möchte. Auch das \( s \) ist fest, da der Umfang festgelegt ist. Entsprechend müssen wir nur den Ausdruck \( (s-a)(s-b)(s-c) \) betrachten.

Jetzt muss man beweistechnisch einen Kniff anwenden und den Bezug zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel herstellen.Definieren wir uns mal die jeweiligen Mittelwerte:

\( M_{arithm} = (s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - u = s \)

\( M_{geom} = \sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)} \)

Der Flächeninhalt ist genau dann maximal, wenn der geometrische Mittel \( M_{geom} \) maximal ist. Das geometrische Mittel ist aber gerade durch das arithmetische Mittel nach oben beschränkt. Es gilt

\( M_{geom} \leq M_{arithm} \)

Gleichheit gilt dabei nur, wenn alle Werte gleich sind, also wenn gilt

\( s-a=s-b=s-c \)

Aber aus diesem Zusammenhang folgt, dass \( a = b = c \) gelten muss und deshalb das Dreieck gleichseitig ist.

Demnach weiß man schonmal, dass alle Dreiecksseiten 10cm betragen.

Nun musst du dir nur noch die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck raussuchen.