Koordinatengleichung der Schnittgerade zweier Ebenen

Aufrufe: 597     Aktiv: 20.07.2022 um 12:49
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Mich beschäftigt die Teilaufgabe b:

Die Lösung ist folgende:

Frage: Warum ist die Lösung eine Ebene? Es wird doch nach einer Schnittgeraden gefragt? Zudem können Geraden im Raum doch gar keine Koordinatenform besitzen? 

In allen Youtube-Videos ist diese Lösung nur ein Teilschritt, anschliessend wird "die Lösung" in eine der beiden Ebenen eingesetzt und weiter gerechnet. Am Schluss erhalten sie eine Gerade in Parameterform.

Kann mich jemand aufklären?

EDIT vom 29.05.2022 um 19:31:




Warum ist orange die "Schnittgerade"?

EDIT vom 29.05.2022 um 19:50:




Ich erhalte nun eifach mit einer Eingabe zwei Ebenen, einmal z=0 und x+y=1
Weiss nicht, warum das bei cauchy funktioniert und bei mir nicht...
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gefragt

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Mir lernten folgenden Merksatz: "Geraden im Raum haben nur Parameterdarstellung, keine Koordinatendarstellung".

Ich stelle mir für eine Gerade in der xy-Ebene sowas vor: (2,7,0) + r*(3,4,0) <-- sprich die z-Koordinate ist 0?   ─   nas17 29.05.2022 um 19:14
Die übliche 0815 Gleichung y=m*x+n IST sprichwörtlich die Koordinatengleichung einer Gerade in 2d (wo also z=0 ist) :-)

Du hast doch sicher gelernt wie man in 3d bei einer Gerade von der Parameterform aus die Koordinatenform findet?
Hier selbes Vorgehen:
die 2 Gleichungen, die dahinterstecken, nehmen.
1. Gleichung nach Parameter umstellen, in 2. Gleichung einsetzen.
Tada, Koordinatengleichung gefunden! :-)   ─   densch 29.05.2022 um 19:46
@densch, macht Sinn! Da z-Koordinate =0 sind wir nun in der Ebene und darum gibt es eine Koordinatengleichung für die Gerade. Das hat man ja auch in der Aufgabe gemacht, z=0 in x+y+z=1 eingesetzt und dann die Lösung erhalten. Ist alles verständlich für mich. Nun hat es auch noch "Klick" gemacht, warum wir eine Gerade in Koordinantengleichung erhalten (da jetzt 2D).
Sobald ich die Gerade graphisch darstellen kann, bin ich komplett beruhigt. :D   ─   nas17 29.05.2022 um 19:55
Ich habe immer nur daran gedacht, dass z=0 identisch ist mit der xy-Ebene, aber nicht, dass DESWEGEN 3D zu 2D wird und ich somit eine Koordinatenform einer Gerade habe, wobei die Aufgabe ja im Raum stattfindet! Das war die erste Aufgabe von sehr vielen, in der so etwas vorkommt. Bis anhin gab es nur Aufgaben, in denen die Schnittgerade in Parameterform angeben musste, deshalb hatte ich auch nie Probleme mit Geogebra.
  ─   nas17 29.05.2022 um 20:07
aber natürlich hast Du Recht, ich hätte diesen Zusammenhang schneller verstehen sollen...   ─   nas17 29.05.2022 um 20:10
Den Kommentar von cauchy habe ich übersehen. Stimmt, der beschreibt den obigen Kommentar bezügllich 3D/2D sehr präzise. Dein Kommentar mit dem LGS macht auch Sinn für mich. Nun verstehe ich die Zusammenhänge komplett. Mich interessiert nur noch, wie cauchy mit dem "Befehl" {x+y-1=0, z=0} eine Gerade erhält und ich mit dem identischen Befehl zwei Ebenen...


   ─   nas17 29.05.2022 um 20:19
@ mikn: Lustig wie der "Troll" am Ende Recht bekommt :-D

Ansonsten am Rande: Ihr habt Alle die Tendenz, Sachen viel zu umständlich zu beschreiben.
Dann kommt der böse "Troll" und erklärt es in "simple terms" und es wird direkt verstanden und kapiert.
Sagt Manches....

Troll>Professor :-P   ─   densch 29.05.2022 um 20:27
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Dann bin ich beruhigt.. Hauptsache ist, dass ich es nun inhaltlich verstanden habe.
Wirklich vielen Dank für die Geduld! :)   ─   nas17 29.05.2022 um 20:28
@cauchy hatte die Nachrichten fast zeitgleich an unterschiedlichen Orten (unter meiner Frage und bei der Antwort von @mikn, daher habe ich deinen Kommentar übersehen. Schätze Eure Mühe sehr und greife auf Eure Antworten beim Repetieren der Themen zurück. :)
Habe nun die geschweiften Klammern mit runden ersetzt, hat funktioniert! Besten Dank. Es wäre nicht falsch, wenn ich der Lösung den Zusatz ",z=0" geben würde?   ─   nas17 29.05.2022 um 22:40
Hätte hierzu noch eine Frage: Wenn nun die zweite oder dritte Spurgerade gefragt ist, erhält man eine Geradengleichung mit mit z-Koordinate: Ich habe verstanden, dass die Gerade trotzdem im R^2 ist, jedoch kenne ich keine Geradengleichungen welche ein "z" drin haben?   ─   nas17 28.06.2022 um 14:41
Mit dem muss ich mit noch anfreunden, da uns gesagt wurde, es gibt keine Geradengleichungen im R^3. Jedoch erinnere ich mich daran, dass hier ja z=0 ist und nicht z=beliebig. Demnach wäre z.B. 2x-3z=5 eine Lösung, wenn nur die Spurgerade gefragt ist? Sorry wegen der evtl. dummen Frage, habe morgen meine mündliche Abschlussprüfung und bin entsprechend aufgeregt. :D   ─   nas17 28.06.2022 um 14:59
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@cauchy vielen Dank! Habe nun seit fast 2 Monaten jeden Tag geübt. :)

Den Zusatz mit y=0 habe ich vergessen hinzuschreiben, den habe ich ja von Euch gelernt. Ich dachte, dass ich den Zusatz nicht hinschreiben muss, weil wenn nach einer Spurgeraden gefragt, das logisch ist. Aber klar, der Zusatz ist notwendig, damit es keine Ebene ist, sondern eine Gerade. :)   ─   nas17 28.06.2022 um 15:57
@mikn Danke :) werde ich machen   ─   nas17 28.06.2022 um 17:29
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@mikn Hatte die Themen Integralrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zuerst war es Integralrechnung. Auf dem Blatt war eine gebrochenrationale Funktion abgebildet mit einem positiven Exponenten (habe ich direkt erkannt). Darüber stand das Integral von f(x) in den Grenzen -1 bis -0.5. Ich musste die Fläche berechnen. War zu Beginn sehr nervös, dies verstärkte sich, als ich sah, dass die Funktion zuerst berechnet werden muss. 1 Punkt auf dem Graphen war nämlich gegeben, daraus musste ich herleiten, dass die Funktion 1/x^2 ist und nicht etwa 1/x^4 oder 1/x^6 etc. Das brachte mich kurz aus dem Konzept und darum habe ich ein Durcheinander gemacht mit 1/2^x anstatt 1/x^2 :( Bei der Flächenberechnung hatte ich aus Nervosität ein Vorzeichenfehler und bekam -3 anstatt 1 als Flächeninhalt, habe jedoch direkt gesagt, dass dies unmöglich ist, weil die untere Grenze kleiner ist als die obere und der Flächeninhalt hier nicht negativ sein kann. Dies habe ich dann mit dem 1. Teil des Fundamentalsatzes der Analysis beweisen können (konnte mich wieder "fangen"). Auf der nächsten Seite musste ich den Begriff "allgemeine Summenregel" erläutern und ein eigenes Beispiel erfinden (habe ein Glücksrad genommen) und dann die allgemeine Summenregel anwenden. Dies habe ich souverän gemacht. War mit meiner Leistung nicht wirklich zufrieden, hätte viel besser laufen können (der Fehler zu Beginn nervt mich noch bis heute)   ─   nas17 20.07.2022 um 10:54
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Videos und in die Lösung schauen hilft eben selten. In a) ist nach einem Winkel gefragt und in b) nach einer Geraden. Also rechne mal los. Erst wenn a) fertig und verstanden ist(!), fängst Du mit b) an. Wenn Du a) ohne Ebenengleichung schaffst, ist doch auch gut. Es ist ja nur der Winkel gefragt. Die angegebene Lösung ist nur eine von vielen. DEINE selbst gefundene ist die sinnvollste.
Also, wie weit kommst Du mit a) (ohne in die Lösung zu schauen)?
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Bei der Aufgabe a) habe ich keine Probleme. Ich erstelle mit den Spurpunkte meine Ebenengleichung in Parameterform und berechne mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren meinen Normalenvektor, welchen ich mit z.B. (1,0,0) (für x-Achse) in die Formel für den spitzen Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen einsetze und ausrechne.

Ich verstehe nicht, warum die Schnittgerade eine Ebene ist. Dann würde es doch Schnittebene heissen?   ─   nas17 29.05.2022 um 19:11
Ich habe doch erwähnt, dass ich mich auf den Aufgabenteil b) beziehe? Ist evtl. nicht gut ersichtlich, da ich es oberhalb des ersten Bildes geschrieben habe. Z=0 für die xy-Ebene ist mir bewusst. Wenn ich jedoch die Lösung in Geogebra eingebe, erhalte ich eine Ebene und keine Gerade? Eine Gerade ist meines Wissens nach "ein Strich" und eine Ebene eine "Fläche"?   ─   nas17 29.05.2022 um 19:22
@cauchy: Auch wenn ich noch +0z hinzufüge (habe es in meinem Edit weggelassen), erhalte ich komischerweise immer noch eine Ebene (orange im Edit).. Demnach ist diese Anzeige falsch interpretiert von Geogebra. Bei der Vektorgeometrie gebe ich momentan alles in Geogebra ein, damit ich mir die Problemstellung optisch verinnerlichen kann. Daher war ich verwundert, da die Lösung der Form y=ax + b entspricht, was ja eine Gerade ist...   ─   nas17 29.05.2022 um 19:35
@mikn. Kein Problem. :) Das Problem ist die Darstellung in Geogebra (siehe mein Edit). Ich erhalte eine Ebene. Wären demnach diese zwei Schreibweisen unterschiedlich: Folgende Bsp. denke ich mir aus: 2x+3y+0z-4=0 (ist eine Gerade, da z=0 und somit nicht beliebig?) vs. 2x+3y=0 (ist eine Ebene, da z beliebig?)

Edit: +0z ist nicht das gleiche wie z=0 (Kommentar cauchy) --> demnach weiss ich nicht, wie ich z=0 als Befehl einbauen kann, damit ich eine Gerade erhalte... :(   ─   nas17 29.05.2022 um 19:38
Wenn ich genau {x+y=1, z=0} bei Geogebra eingebe, erhalte ich zwei Ebenen gleichzeitig? Dass die xy-Ebene das gleiche ist wie z=0 ist mir bewusst, nur bin ich unfähig dies in Geogebra korrekt einzutragen, damit auch eine Gerade rauskommt.   ─   nas17 29.05.2022 um 19:45

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.