Sei \(A\subseteq U\) offen. Nach dem Satz über die Umkehrfunktion ist \(f\) überall lokal invertierbar, d.h. für jedes \(x\in A\) gibt es offene \(U_x\subseteq A\) (o.E.) und \(V_x\subseteq\mathbb R^n\) sodass \(f:U_x\to V_x\) bijektiv und die Umkehrabbildung stetig differenzierbar ist. Jetzt müssen wir das ganze nur noch zusammensetzen: Es folgt, dass $$f(A)=\bigcup_{x\in A}V_x$$ offen ist, da die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen wieder offen ist.