Anwendungen des Mittelwertsatzes

Aufrufe: 582     Aktiv: 28.05.2020 um 21:19

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Ich steh mal wieder auf dem Schlauch, mir ist nicht ganz klar was von mir verlangt wird...?
Ich soll alle möglichen Ableitungen bilden, aber von welchen Funktionen? Oder ist das (2x) schon der Term?
Ist der Hinweis jetzt eine eigene Aufgabe oder soll ich damit die Teilaufgaben lösen?
Ich hatte versucht den Übungsleiter zu fragen, welcher mir keine Antwort geben wollte...
Danke im voraus!

 

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Die Ableitung von \( \frac{1}{2} (f(2x) + f(2y)) \) nach \(x\) ist \( f^{\prime} (2x) \) und die Ableitung nach \(y\) ist \( f^{\prime} (2y) \).

Der Hinweis sagt uns nun, dass die Ableitungen gleich sein müssen, also dass \( f^{\prime} (2x) = f^{\prime} (2y) \) ist - und zwar für alle \( x,y \in \mathbb{R} \).

Setzen wir nun \( x = \frac{t}{2} \) und \( y = 0 \), dann erhalten wir \( f^{\prime} (t) = f^{\prime} (0) \) für alle \(t \in \mathbb{R} \), also ist \( f^{\prime} \) konstant. Das bedeutet \( f \) muss von der Form \( f(t) = a \cdot t + b \) sein mit \( a,b \in \mathbb{R} \).

Und tatsächlich, wenn \( f(t) = a \cdot t + b \) ist, dann gilt \( f(x+y) = a (x+y) + b = \frac{1}{2} (2a (x+y) + 2b) = \frac{1}{2} ((a \cdot 2x + b) + (a \cdot 2y + b)) = \frac{1}{2} (f(2x) + f(2y)) \).

Vielleicht schaffst du die (b) ja jetzt selber. Viel Erfolg!

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Student, Punkte: 7.05K

 

Danke :)   ─   lelchik 28.05.2020 um 20:59

Sehr gerne :) Ich hoffe, es hat dich ein bisschen weitergebracht.   ─   42 28.05.2020 um 21:19

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