Analysis 2: Die Zuflussgeschwindigkeit berechnen

Aufrufe: 39     Aktiv: 31.05.2021 um 11:28

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Die Zuflussgeschwindigkeit in m³/min bei einem Regenauffangbecken wird mit der Funktion v(t) = -e0,17t+ t +1 beschrieben 

Zu Beginn des gezeigten Vorgangs befanden sich bereits 10 m³ Wasser im Becken.

Aufgabenstellung lautet : Bestimmen sie näherungsweise den Zeitpunkt, ab dem das Becken leer ist. 


Ich habe was diese Aufgabe betrifft folgendes gerechnet:

10 + ∫ (0 bis 17) v(t) dt = 0 -> 71.54 m³

71.54/0.4 = 178.9 min

Nach insgesamt ca. 178.9 Minuten ist das Becken leer.

ich wollte wissen ob es so korrekt wäre und ob es auch andere Möglichkeiten gibt dies zu berechnen.

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Hallo

Also wenn man sich Gedanken zu physikalischen Problemen macht, ist es immer hilfreich die Einheiten mitzuschreiben, dann würde man z.B merken, dass bei deiner letzten Gleichung etwas nicht stimmen kann, du setzt hier ja ein Volumen einer Zeiteinheit gleich. Ich bin sehr verwirrt, was du genau gemacht hast: 1) wieso integrierst du von 0 - 17, wie hast du die 17 bekommen, weil das ist ja gerade die Lösung. 2) warum teilst du dein Endergebnis mit 0.4 von wo kommt das?

Also wie löst man diese Aufgabe denn:
Mache dir zuerst bewusst, wie die Funktion aussieht, plotte sie oder skizziere sie. Nun ist es richtig, dass wenn du \(m^3/min\) nach der Zeit integrierst bekommst du nur noch das Volumen als Ergebnis. Stelle also die Gleichung auf:
\(\int_0^a v(t) \, dt = 0 \iff -200e^{\frac{17a}{100}}-17a^2-34a-190\)
Das würde man nun gerne nach \(a\) auflösen, aber diese Gleichung ist analytisch nicht lösbar (daher wird in der Aufgabenstellung auch gesagt 'näherungsweise'). Man könnte hier z.B den Term \(-200e^{\frac{17a}{100}}\) Taylor approximieren bis zur 2. Ordnung (auch mehr, je nachdem wie genau man sein möchte) und löst dann diese quadratische Gleichung (das hab ich auch gemacht und bin auf a_1 = 16.7, a_2 =-1.7 Minuten gekommen, die negative Lösung macht hier keinen Sinn).

Man könnte es auch
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