Hast du dir den Graphen mal angeschaut ? 
Nullstellen findest du dort, wo x ^2 oder der Sinus - Ausdruck = 0 werden. Ersteren ist trivial. Sinus wird 0 bei 0, π und n* π . Dabei ist nur der Faktor 2 zu beachten . 
Stetigkeit : ist die Funktion überall definiert ? ZB Keine Wurzel mit möglichen neg Diskriminanten ? Kein Bruch mit möglichem 0- Nenner ? 
gut . Dann zur Frage der Differenzierbarkeit : könntest du an jeder Stelle zwischen 0 und π eine Tangente "anschmiegen", die nicht parallel zur y - Achse verläuft ? 
bei weiteren Fragen melde dich gern ! 
Für den Graphen nutze doch zB Geogebra . 

In der Schulaufgabe hat man leider kein Tool, um sich den Graphen ausspucken zu lassen :-)

Kennst Du die Bedingung bzw. Bedeutung von "Nullstelle"? D.h. dass die Funktion den WERT 0 an dieser Stelle hat (der Graph geht dort durch die x-Achse (schneidet oder berührt nur), da keine "Höhe" in y-Richtung :-) ).
Deshalb muss man, um Nullstellen zu berechnen, den Funktionsterm gleich 0 setzen.
Das zu lösen, ist in diesem Fall einfach, da die Funktion aus 2 Faktoren besteht. Wenn einer Null ist, wird das Produkt Null! (man nennt das "Faktorisierte Form"! Mal gehört?). Deshalb schreibt Markus, dass entweder \(x^2=0\) oder \(sin(2x)=0\) die Nullstellen ergeben.

Stetigkeit: Ob die Funktion auf dem Definitionsbereich definiert ist, ist NICHT die Frage! (Das wäre eine "Definitionslücke" und die Aufgabenstellung wäre dann FALSCH!) Sondern ob sie "Sprünge" macht. D.h. graphisch, dass der Graph an einer Stelle nach oben oder unten "springt" (und nur horizontal ein "Loch" entsteht - nicht wie Markus meint ein vertikales Loch, wo es keinen y-Wert gibt!).
Stetigkeit prüft man im Allgemeinen mit dem Limes von rechts und von links. Diese beiden Limes müssen gleich sein. Schau bitte in Deinen Unterlagen, wie eure genaue Schreibweise dafür ist, denn für den Limes "von rechts" bzw. links gibt es unterschiedliche Notationen!

Welche Punkte sind bei der Stetigkeit interessant? Ich würde sagen, da wo der Betrag das Vorzeichen ändern würde!
(\(x^2\) und \(sin(2x)\) dürften als stetig bekannt sein)
Diese Stellen müsstest Du also mit den Limes betrachten.

Differenzierbarkeit: Die graphische Beschreibung von Markus ist sehr schön! Aber es hilft leider als Argument nicht, zu sagen: "sieht so aus" oder so :-) Das Kriterium ist der "Differentialquotient" (das ist der Limes des "Differenzenquotienten"). Dieser muss existieren und auch von beiden Seiten gleich sein. Die Stellen, an denen Du diesen Limes betrachten musst, sind in dem Fall die gleichen wie bei der Stetigkeit.
Die Formel hast Du sicher, oder? Magst Du den Differentialquotienten ausführlich erklärt haben? Gern! Sag Bescheid!

Hilft das? Oder wo hakt's noch?

LG

Noch was Wichtiges: Die Betragsfunktion \(|\dots|\) ändert nichts an den Nullstellen oder an der Stetigkeit. Aber dort wo die „einfache“ Funktion die \(x\)-Achse harmlos schneidet, erzeugt der Betrag eine Spitze – und das ist dann ein Punkt, an dem \(f(x)\) nicht mehr differenzierbar ist. Jedenfalls meistens, es sei denn die Funktion wäre dort eh schon flach gewesen (\(f'(x) = 0\)); dann ist sie auch mit dem Betrag noch differenzierbar.

Die Nullstellen musst du in diesem Sinn also besonders genau angucken.