Allquantor und Existenzquantor

Aufrufe: 771     Aktiv: 06.11.2020 um 16:47

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∀𝑘 ∈ {1,5,7,8} ∃𝑗 ∈ N: 𝑘 ≤ 𝑗 ∀𝑘 ∈ {1,5,7,8} ∀𝑗 ∈ N: 𝑘 ≤ 𝑗 ∃𝑘 ∈ {1,5,7,8} ∃𝑗 ∈ N: 𝑘 ≤ 𝑗 ∃𝑘 ∈ {1,5,7,8} ∀𝑗 ∈ N: 𝑘 ≤ 𝑗 Kann mir jemand ausführlicher erklären, warum alle Aussagen wahr sind außer die 2. ?
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Student, Punkte: 657

 
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Du musst dir das einfach auschreiben, dann wird es schnell klar:

1. Aussage: Für alle k aus der Menge {1,5,7,8} existiert ein j aus den natürlichen Zahlen, sodass k kleiner gleich j

Wahre Aussage, denn beispielsweise für k = 1 aus {1,5,7,8} existiert j = 2 aus IN sodass k \(\leq \) j <=> 1 \(\leq \) 2 (für 5,7,8 findest du ebenfalls solche Zahlen in IN)

2. Aussage: Für alle k aus der Menge {1,5,7,8} und für alle j aus den natürlichen Zahlen gilt, dass k \( \leq \) j

Falsche Aussage, denn FÜR ALLE ist hier das Stichwort. Es wird behauptet, dass es für alle Zahlen aus der Menge {1,5,7,8} und für alle Zahlen aus IN gilt, dass k \( \leq \) j. Wählst du beispielsweise aber die Zahl 7 aus, dann gibt aus IN die Zahlen 1,...,6, die kleiner als 7 sind, wo also k \( \leq \) j nicht gilt.

3. Aussage: Es existiert ein k aus der Menge {1,5,7,8} und es existiert ein j aus den natürlichen Zahlen, sodass  k \( \leq \) j gilt

Wahre Aussage, denn du kannst beispielsweise die k=5 aus der Menge {1,5,7,8} wählen und eine Zahl in IN finden, beispielsweise j=100, sodass k \( \leq \) j <=> 5 \( \leq \) 100 gilt.

4. Aussage: Es existiert ein k in der Menge {1,5,7,8} sodass für alle j aus den natürlichen Zahlen gilt, dass k \( \leq \) j ist.

Wahre Aussage, jedoch gilt es hier nur für die Zahl 1. Du wählst k = 1 aus deiner Menge {1,5,7,8} und dann gilt für alle Zahlen aus den natürlichen Zahlen IN = {1,2,3,4,5,.....} das k \( \leq \) j <=> 1 \( \leq \) j für j aus IN. Du kannst jede Zahl aus IN nehmen, die Ungleichung stimmt.

Es gilt also nur die zweite Aussage nicht, alles klar soweit? ;)

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 

Vielen lieben Dank für die hilfreiche Antwort! :)   ─   emilie 06.11.2020 um 16:47

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