Integralrechnung einer mehrdimensionalen Funktion

Aufrufe: 66     Aktiv: 10.03.2021 um 08:04

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Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Kann mir einer helfen, wie man dieses Integral ausrechnet?
Mir ist schon bewusst, dass wir Fubini anwenden werden jedoch bin ich aktuell gerade nicht sicher wie ich die Indikatormenge am besten umschreibe.



Vielen Dank im Voraus!
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Ich würde hier folgendermaßen vorgehen:
Zunächst kann man sich überlegen, dass
\( \mathbb{I}_{\{x_k \le x_{k-1} \le \dots \le x_1\}}(x_1, \dots, x_k) \cdot \prod_{i=1}^k \mathbb{I}_{[0,1]}(x_i) = \mathbb{I}_M(x) \)
ist für
\( M = \{ x \in \mathbb{R}^k \ \vert \ x_1 \in [0,1], x_2 \in [0,x_1], x_3 \in [0,x_2], \dots, x_k \in [0,x_{k-1}] \} \)
Damit erhält man dann
\( \int_{\mathbb{R}^k} \mathbb{I}_{ \{x_k \le x_{k-1} \le \dots \le x_1 \} }(x_1, \dots, x_k) \cdot \prod_{i=1}^k \mathbb{I}_{[0,1]}(x_i) \ d(x_1,\dots,x_k) \) \( = \int_{\mathbb{R}^k} \mathbb{I}_M(x) \ dx \) \( = \int_M 1 \ dx \) \( = \int_0^1 \int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \dots \int_0^{x_{k-1}} 1 \ dx_k \dots dx_3 \ dx_2 \ dx_1 \)
Und nun kann man sich überlegen, dass
\( \int_0^1 \int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \dots \int_0^{x_{k-1}} 1 \ dx_k \dots dx_3 \ dx_2 \ dx_1 = \frac{1}{k!} \)
ist.
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Ah stimmt macht richtig Sinn thx :)   ─   finn2000 10.03.2021 um 08:04

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