Ich würde hier folgendermaßen vorgehen:
Zunächst kann man sich überlegen, dass
\( \mathbb{I}_{\{x_k \le x_{k-1} \le \dots \le x_1\}}(x_1, \dots, x_k) \cdot \prod_{i=1}^k \mathbb{I}_{[0,1]}(x_i) = \mathbb{I}_M(x) \)
ist für
\( M = \{ x \in \mathbb{R}^k \ \vert \ x_1 \in [0,1], x_2 \in [0,x_1], x_3 \in [0,x_2], \dots, x_k \in [0,x_{k-1}] \} \)
Damit erhält man dann
\( \int_{\mathbb{R}^k} \mathbb{I}_{ \{x_k \le x_{k-1} \le \dots \le x_1 \} }(x_1, \dots, x_k) \cdot \prod_{i=1}^k \mathbb{I}_{[0,1]}(x_i) \ d(x_1,\dots,x_k) \) \( = \int_{\mathbb{R}^k} \mathbb{I}_M(x) \ dx \) \( = \int_M 1 \ dx \) \( = \int_0^1 \int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \dots \int_0^{x_{k-1}} 1 \ dx_k \dots dx_3 \ dx_2 \ dx_1 \)
Und nun kann man sich überlegen, dass
\( \int_0^1 \int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \dots \int_0^{x_{k-1}} 1 \ dx_k \dots dx_3 \ dx_2 \ dx_1 = \frac{1}{k!} \)
ist.