Für \(x\neq0\) ist die Differenzierbarkeit klar. Für \(x=0\) müssen wir überprüfen, ob $$\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(1+2h\sin\frac1h)}h=\lim_{h\to0}\left(1+2h\sin\frac1h\right)$$ existiert. Der interessante Grenzwert ist hier \(\lim_{h\to0}h\cdot\sin\frac1h\). Dabei geht der erste Faktor gegen 0 und der zweite ist beschränkt, also ist der Grenzwert insgesamt 0. Daraus folgt, dass die Funktion in \(0\) differenzierbar ist mit \(f'(0)=1\).
Für die stetige Differenzierbarkeit musst du jetzt untersuchen, ob \(\lim_{x\to0}f'(x)=f'(0)\) gilt. Leite dazu den Funktionsterm nach den üblichen Regeln ab und versuche, den Grenzwert zu berechnen. Probier das erst mal selber.