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Hallo Zusammen

Wir haben gestern die Multiplikationsregel von Lagrange eingeführt und bewiesen. Diese besagt ja wenn p ein Max/Min einer Funktion f mit Nebenbedingugen \(\phi_1(p)=...=\phi_j(p)=0\) und \(\nabla\phi_1(p),...\nabla \phi_j(p)\) linear unabhängig sind, dann \(\exists \lambda_1,...\lambda_j\) so dass \(\nabla f(p)=\sum_{k=1}^{j} \lambda_k \nabla \phi_k(p)\) nun können wir dies ja auch umschreiben als \(\nabla f(p)-\sum_{k=1}^{j} \lambda_k \nabla \phi_k(p)=0\) und man erhält ein Gleichungsystem der Form \(\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)-\sum_{k=1}^{j} \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}(p)=0 \,\,\, \forall i=1,2,...,n\) mit den oben genannten Nebenbedingungen. 
Nun haben wir eine Beispielaufgabe gelöst genau mit dieser Umformung, wobei wir die Funktion \(f(x,y)=x+2y\) und die Nebenbedingung \(x^2+y^2=1\) gehabt haben. Wir mussten nun die Extremalstellen finden bzw. auch angeben ob sie ein Maximum oder Minimum sind. Was ich nicht ganz verstehe ist wieso man das mit dem oben genannten Gleichunssystem lösen kann, denn das funktionniert doch nur wenn man schon weiss dass p ein Max/Min ist? Könntet ihr mir aufzeigen was ich genau übersehe?

Vielen Dank.
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1 Antwort
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Das Gleichungssystem hat hier drei Gleichungen mit drei Unbekannten (\(x,y,\lambda\). Jede Lösung ist ein Kandidat(!) für ein lokales Extremum unter der NB. Heißt: Wenn es ein lok. Extr. unter der NB gibt, dann ist dieses (mit einem \(\lambda\)) Lösung des Gleichungssystems.
Ob diese Lösung wirklich ein lok. Extr. unter der NB ist, und wenn, ob es dann ein Max. oder Min. ist, muss auf anderem Weg sichergestellt werden.
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So wie ich das nun aber verstehe kann man nicht die Gleichung lösen um Kandidaten für ein lokales Extr. zu finden   ─   karate 17.04.2021 um 16:55

Ah okei nun habe ich es verstanden vielen Dank!   ─   karate 17.04.2021 um 17:52

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