Nennen wir die Matrix mal \( A \) und die Matrix, die durch Streichung der \(i\)-ten Zeile und \( j \)-ten Spalte aus \(A\) entsteht, nennen wir \( A_{i,j} \).

Die Entwicklung nach der \(n+1\)-ten Spalte liefert
\( det(A) = (-1)^{1+n+1} \cdot 1 \cdot det(A_{1,n+1}) + (-1)^{n+1+n+1} \cdot a_n \cdot det(A_{n+1,n+1}) \)

Wenn man nun annimmt, dass die Behauptung für \(n \times n\)-Matrizen gilt, dann lässt sich damit \( det(A_{n+1,n+1}) \) ganz einfach berechnen.

Für \( det(A_{1,n+1}) \) stellt man fest, dass \( A_{1,n+1} \) in der \(n\)-ten Zeile vorne eine \(1\) und ansonsten nur Nullen hat. Die Entwicklung nach der \(n\)-ten Zeile liefert
\( det(A_{1,n+1}) = (-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot det(diag(a_1,a_2,\dots,a_{n-1})) = (-1)^{n+1} \prod_{i=1}^{n-1} a_i \).

Setzt man alles zusammen, dann erhält man die gewünschte Behauptung für \(A\).