Man kann sich das aber auch an der Definition klarmachen. Tangens ist im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete zur Ankathete. Für 90° geht das nicht. Die Gegenkathete müßte unendlich lang werden.

Der tangens eines Winkels ist ja der Sinus durch den Cousins des Winkels. 
(wenn du das nicht verstehst, Schreib gerne nochmal). 
da der Cosinus von 90 grad und von 270 grad 0 ist, ist dieser Tangens auch nicht definiert, weil man ja nicht durch 0 Dividieren darf. 

Der Tangens ist \( \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) und für 90 bzw. 270 Grad ist der Kosinus Null und bekanntlich soll man nicht durch Null teilen.