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Hallo,
Leibntiz Kriterium ist schon mal sehr gut. Du hast auch recht, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist, aber die Abschätzung geht so nicht. Bedenke, dass wenn du durch eine größere Zahl teilst, eine kleinere Zahl erhälst.
Aber die Idee ist schon mal sehr gut eine Abschätzung zur harmonischen Reihe zu finden.
Versuch mal eine Abschätzung zu $\frac 1 {ak}$ zu finden, mit $a$ einer Zahl die ich nicht vorweg nehmen möchte ;)
Bei der 3 sagst du, dass du eine Quotienten hast, bei dem sowohl Nenner als auch Zähler gegen unendlich geht. Das bedeutet aber nicht, dass der Quotient dann gegen unendlich geht.
Die Reihe konvergiert tatsächlich auch. Versuch es mal mit dem Quotientenkriterium, auch wenn es zuerst nicht danach aussieht.
Grüße Christian
Leibntiz Kriterium ist schon mal sehr gut. Du hast auch recht, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist, aber die Abschätzung geht so nicht. Bedenke, dass wenn du durch eine größere Zahl teilst, eine kleinere Zahl erhälst.
Aber die Idee ist schon mal sehr gut eine Abschätzung zur harmonischen Reihe zu finden.
Versuch mal eine Abschätzung zu $\frac 1 {ak}$ zu finden, mit $a$ einer Zahl die ich nicht vorweg nehmen möchte ;)
Bei der 3 sagst du, dass du eine Quotienten hast, bei dem sowohl Nenner als auch Zähler gegen unendlich geht. Das bedeutet aber nicht, dass der Quotient dann gegen unendlich geht.
Die Reihe konvergiert tatsächlich auch. Versuch es mal mit dem Quotientenkriterium, auch wenn es zuerst nicht danach aussieht.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Wir formen etwas anders um. Wir erhalten nach dem Einsetzen aber eine etwas andere Form. Du hast die dritte Potenz bei der Fakultät vergessen
$$ \left| \frac {a_{k+1}} {a_k} \right| = 7 \frac 1 {(k+1)^3} \cdot \frac {(k+1)^{k+1}} {k^k} = \frac 7 {(k+1)^2} \cdot \left( \frac {k+1} k \right)^k $$
hast du den Ausdruck $\left( \frac {k+1} k \right)^k$ schon mal irgendwo gesehen? Ist einer der bekanntesten und wichtigsten Folgen. :p
Der erste Ausdruck geht aber wie du sagst gegen Null. ─ christian_strack 10.11.2021 um 14:43
$$ \left| \frac {a_{k+1}} {a_k} \right| = 7 \frac 1 {(k+1)^3} \cdot \frac {(k+1)^{k+1}} {k^k} = \frac 7 {(k+1)^2} \cdot \left( \frac {k+1} k \right)^k $$
hast du den Ausdruck $\left( \frac {k+1} k \right)^k$ schon mal irgendwo gesehen? Ist einer der bekanntesten und wichtigsten Folgen. :p
Der erste Ausdruck geht aber wie du sagst gegen Null. ─ christian_strack 10.11.2021 um 14:43
ja das ist die e-Folge
Ich habe mein Fehler bei der zweiten Aufgabe erkannt und könnte ich nicht einfach dann >= umdrehen.
Ich habe den Tipp die Sie gegeben haben mit 1/ak nicht so richtig verstanden. Also kann man einfach eine Zahl für a nehmen z.B:
1/ 3wurzel(27k+2) >= 1/ 3k -----> a = 3 ─ joker 10.11.2021 um 16:12
Ich habe mein Fehler bei der zweiten Aufgabe erkannt und könnte ich nicht einfach dann >= umdrehen.
Ich habe den Tipp die Sie gegeben haben mit 1/ak nicht so richtig verstanden. Also kann man einfach eine Zahl für a nehmen z.B:
1/ 3wurzel(27k+2) >= 1/ 3k -----> a = 3 ─ joker 10.11.2021 um 16:12
Genau also haben wir als Grenzwert $0 \cdot e=0$.
Nein du darfst nicht irgendein $a$ wählen, ich wollte nur nicht zu viel verraten und habe deshalb dort ein $a$ geschrieben anstatt einer Zahl. Es gilt außerdem
$$ \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {ak} = \frac 1 a \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 k $$
und da wir wissen, dass diese Reihe divergiert, divergiert auch jede Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {ak}$. Also müssen wir keine Abschätzung finden die in $\frac 1k$ endet, sondern es darf auch ein Vielfaches davon sein.
Nun gut, gehen wir es Schritt für Schritt durch. Wir haben den Ausdruck $\frac 1 {\sqrt[3]{27k+2}} $. Wir wollen diesen Ausdruck nach unten hin abschätzen, bis wir bei einem $\frac 1{ak}$ sind (mit einem $a$, dass wir jetzt noch nicht kennen).
Wir wollen nach unten abschätzen, also muss der Nenner größer werden. Wir suchen also eine Abschätzung nach oben für
$$ \sqrt[3]{27k+2} \leq \ldots $$
Was würde dir hier zuerst einfallen, damit dieser Ausdruck größer wird? ─ christian_strack 10.11.2021 um 16:48
Nein du darfst nicht irgendein $a$ wählen, ich wollte nur nicht zu viel verraten und habe deshalb dort ein $a$ geschrieben anstatt einer Zahl. Es gilt außerdem
$$ \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {ak} = \frac 1 a \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 k $$
und da wir wissen, dass diese Reihe divergiert, divergiert auch jede Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {ak}$. Also müssen wir keine Abschätzung finden die in $\frac 1k$ endet, sondern es darf auch ein Vielfaches davon sein.
Nun gut, gehen wir es Schritt für Schritt durch. Wir haben den Ausdruck $\frac 1 {\sqrt[3]{27k+2}} $. Wir wollen diesen Ausdruck nach unten hin abschätzen, bis wir bei einem $\frac 1{ak}$ sind (mit einem $a$, dass wir jetzt noch nicht kennen).
Wir wollen nach unten abschätzen, also muss der Nenner größer werden. Wir suchen also eine Abschätzung nach oben für
$$ \sqrt[3]{27k+2} \leq \ldots $$
Was würde dir hier zuerst einfallen, damit dieser Ausdruck größer wird? ─ christian_strack 10.11.2021 um 16:48
3wurzel(27k+37k)? so könnte ich direkt die Wurzel ziehen
─ joker 10.11.2021 um 19:39
─ joker 10.11.2021 um 19:39
Wieso könntest du so die Wurzel ziehen?
Was könntest du denn vielleicht direkt mit der Wurzel machen, damit der Term größer wird? Was macht denn eine Wurzel? ─ christian_strack 10.11.2021 um 20:55
Was könntest du denn vielleicht direkt mit der Wurzel machen, damit der Term größer wird? Was macht denn eine Wurzel? ─ christian_strack 10.11.2021 um 20:55
7(k+1)^k+1/k^k * (1/k+1)
Also bei der zweiten Faktor es geht gegen 0 und bei den ersten weiß ich nicht, eigentlich etwas multipliziert mit 0 muss dann insgesamt gegen 0 gehen und das heißt konvergiert da 0 < 1. ─ joker 10.11.2021 um 14:32