Basisergänzung einer Menge M aus 3 gegebenen Polynomen, um eine Basis P4 zu erhalten

Aufrufe: 231     Aktiv: 10.04.2024 um 23:11
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Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Gegeben ist die Menge M  bestehend aus den Polynomen M = { 1+x+×^2 , 1+x , 1+x+x^2+x^3 }  C P4
Die lineare Unabhängigkeit hab ich geprüft. Die Polynome sind linear unabhängig und die Dimension ist 3.
Soweit ist alles klar.
Nun wird gefragt welche Elemente ergänzt werden müssen, um eine Basis von P4 zu erhalten.
Die Lösung ist gegeben mit: x^4 , x , und 1.
Die einzelnen Zeilen der Matrix können ja beliebig und geschickterweise so angeordnet werden, dass man eigentlich nicht groß rumrechnen muss., also in der Dimension P4 für die 3 gegebenen Polynome:  ( 0,1,1,1,1) , ( 0, 0,1,1,1) und ( 0,0,0,1,1).
Dass "x^4" als Element benötigt wird,  ist mir klar. Da würde ich einfach den Einheitsvektor für x^4, also ( 1, 0, 0, 0, 0 ) als Zeile ganz oben in die Matrix einfügen.
Die "1" könnte ich mir auch noch vorstellen, in einer 5. Zeile einer 5x5 Matrix ganz unten.
Aber:
Wie kommt man auf das "x" als Element der Lösung ?
Ist mein Ansatz falsch?
Was mache ich falsch ?
ich komm da einfach nicht drauf !!
Könnt Ihr mir hier bitte weiterhelfen?
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Punkte: 16

 
Hallo mikn,
Besten Dank für die schnelle Antwort!
Die Aufgabe stammt aus einer aktuellen HM1 Klausur.
In der offiziellen Musterlösung wurden als Lösung nur die drei Elemente x^4, x, und 1 aufgeführt.
Diese 3 Elemente wurden jeweils mit einem Punkt bewertet.
Hmm....Ich denke, da muss ich die Musterlösung nochmals hinterfragen... ;-))
Vielen Dank für deine Unterstützung !!
   ─   user47ae80 10.04.2024 um 22:50
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1 Antwort
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Aus $\dim span M=3$ und $\dim P_4=5$ folgt: es müssen zwei Elemente ergänzt werden (nicht 3). Es gibt aber unendlich viele Möglichkeiten dazu.
Die Aufgabe "welche müssen ergänzt werden" erlaubt also keine eindeutige Antwort. Ich würde $x^4$ und dazu noch $1$ nehmen. Nachweis per LGS.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.83K

 
Hallo mikn,
Besten Dank für die schnelle Antwort!
Die Aufgabe stammt aus einer aktuellen HM1 Klausur.
In der offiziellen Musterlösung wurden als Lösung nur die drei Elemente x^4, x, und 1 aufgeführt.
Diese 3 Elemente wurden jeweils mit einem Punkt bewertet.
Hmm....Ich denke, da muss ich die Musterlösung nochmals hinterfragen... ;-))
Vielen Dank für deine Unterstützung !!   ─   user47ae80 10.04.2024 um 22:54
Man kann ergänzen mit $x^4$ und ($x$ oder $1$). Gibt auch noch andere Varianten. Dass die Angabe der drei Elemente jeweils einen Punkt gibt, muss nicht heißen, dass die Angabe aller drei dann 3 Punkte gibt. Es ist vermutlich so gemeint, dass die Angabe von ein bis zwei dieser drei 1P bzw. 2P gibt. Prüfe die Gesamtpunktzahl für die Aufgabe.   ─   mikn 10.04.2024 um 22:59
Danke für den Hinweis,
Ich werde die Punktevergabe vorher nochmals prüfen, bevor ich den "Aufstand" probe..... 😀   ─   user47ae80 10.04.2024 um 23:11

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