Dimension Vektorraumstruktur (Vektor, Begriff Matrix)

Aufrufe: 36     Aktiv: 27.06.2021 um 13:21

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Hallo ich habe wieder eine kleine Verständnisfrage..

Beschreibung
In einem Vektorraum gilt, dass die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die gleichzeitig einen n dimensionalen Raum vollends aufspannen, die Basis, und sodann auch die Dimension eines n Dimensionalen Vektorraums sind - so die Definition.

Zudem ist das Rechnen der Koordinaten (K^(n)) isomorph zum Rechnen mit den einzelnen linear Kombinationen der Basen - so hätte ich es verstanden, sollte begrifflich etwas falsch formuliert sein, bitte ich dies zu entschuldigen, es ist nicht unbedingt mein Lieblingsthema

Problem
Von der Struktur K^(n) also den Vektoren lässt sich gleich auf die Struktur K^(n x m ) schließen. Das Problem, das ich grundsätzlich habe, um den Dimensionsbegriff zu verstehen, ist, im K^(n) ja leicht zu fassen - so viele unabhängige Vektoren, wie es gibt, die das zu Betrachtende erzeugen, so hoch-dimensional ist dieser Vektor - irgendwo leicht zu verstehen (auch wenn nicht 100% formal richtig erklärt).

So ergibt sich aber aus der Definition, dass man zur Erzeugung einer n x m Matrix, unabhängig komplexer Betrachtungsweisen des Ranges, die ich hier ersteinmal auslassen möchte, dass man eine n x m Matrix allgemein mit 9 Basenmatrizen aufspannen kann, die die gleiche Form wie die n x m Matrix haben, und je einen Eintrag, um eben dann in der Vektorraumstruktur mit einem Skalar das zu betrachtende zu erzeugen.
Nach Definition ist aber ein Vektor, bzw. dessen Erzeugnisse ein (1 ..... m) spaltiger Tupel, und das Erzeugnis von 9 unabhängigen m = 9 - Tupel Vektoren (bspw. den Einheitsvektoren (1 0 0 0 0 0 0 0 0 , ....., 0 0 0 0 0 0 0 0 1) - würde mir ja wiederrum eine 9. Dimension aufspannen - sodann müsste ja diese 9. Dimension äquivalent sein zu jener der n x m Matrix (also z.B. 3 x 3 Matrix - für die ich aber 9 Einheitsmatrizen verwende, nicht jedoch Einheitsvektoren) - dies ist auch in Hinblick auch auf Rang, Dimension und Lösen dieser durch Matrizen gegebener Gleichungssysteme glaub ich ein wichtiger Faktor, den es zu verstehen gilt, deshalb hoffe ich, dass mir jemande helfen kann

Vielen Dank :)
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Ich weiß nicht genau, wie du auf $9$ Basismatrizen kommst, im Allgemeinen sind es natürlich $n\times m$.
Wenn ich dich richtig verstehe, ist dein Denkfehler der Satz: "Nach Definition ist ein Vektor [...] ein Tupel". Das ist falsch. Ein Vektor ist per Definition ein Element eines Vektorraums, und das muss nicht $K^n$ sein. Eben auch z.B. Matrizen oder sogar Polynome bilden Vektorräume und können daher auch als "Vektoren" bezeichnet werden, auch wenn das sprachlich vielleicht ein bisschen missverständlich ist. Trotzdem gelten alle Sätze und Regeln der Linearen Algebra auch für Matrixräume. Das heißt, die Basis"vektoren" von z.B. $K^{2\times 3}$ sind auch $2\times3$-Matrizen, nämlich z.B. $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ Das ist die Standardbasis des $K^{2\times 3}$. Du kannst leicht nachrechnen, dass diese Matrizen linear unabhängig sind und alle $2\times 3$-Matrizen erzeugen.
Es gibt einen Satz, dass alle $n$-dimensionalen $K$-Vektorräume isomorph sind, d.h. z.B. gibt es einen Isomorphismus $K^{2\times 3}\to K^6$, wobei du einfach die sechs Matrizen oben auf die sechs Standardvektoren des $K^6$ abbilden kannst. Trotzdem sind Matrizen nicht äquivalent zu Vektoren, denn dabei verlierst du die Information, dass die Matrizen eine lineare Abbildung repräsentieren und z.B. mit Vektoren multipliziert werden können.
Klärt das deine Frage? Ansonsten melde dich gern nochmal.
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Vielen Dank, ich bin leider noch nicht ganz durch mit der linearen Algebra, folglich fehlt mir noch etwas, da ich diesmal wirklich alles verstehen möchte.
Jedenfalls sind, soweit habe ich das verstanden habe (auch wenn vielleicht die falsche Syntax von mir verwendet wird) Polynomräume, verallgemeinert Funktionsräume auch Vektorräume, eben - so hätte ich es verstanden - weil sie nach Definition die Struktur eines Vektorraums bilden, wobei die Unbekannten mit den Exponenten die Basis bilden ( n + 1 z.B. x^(2) als höchste Potenz := {x^(0) (somit neutrales Element drinnen), x^(1), x^(2)) := B , mit denen man dann [B] alle Potenzen des ^(2) Raums mit Skalaren aus einem Körper erzeugen kann. - diese darf man sich dann aber nicht als Pfeile oder sonst irgendwas vorstellen, sondern muss einfach abstrakt bleiben und sie als Vektorraum - da (Pn bzw. Fn [x], +, K ) abelsche Gruppe und die anderen Regeln, die in einem Vektorraum gelten, betrachten?
Ich bin nur auf ein anderes Problem gestoßen (das indirekt mit dieser Frage zusammenhängt), nämlich jenes von Polynomringen im Vergleich zu Polynomräumen, diese bilden ja mit (PZahl (z.B. auch Z / 5Z) [x], +, *) einen Ring - dieses 5 bezieht sich aber im Gegensatz zu den Vektorräumen auf den Koeffizienten. d.h. sofern ich Nullteilerfrei bin, gilt ja die Gradformel, aber die Exponenten können in einem Polynomring lt. Definition unendlich groß werden - die Abgeschlossenheit bezieht sich also rein auf die Koeffizienten?
d.h. die Basis von Polynomräumen sind Unbekannte mit deren Exponenten (die in sich abgeschlossen sein müssen - was durch die Definition eines Vektorraums ja gewährleistet ist, keine beiden Basiselemente sind bez. Multiplikation - was den Grad erhöhen würde, definiert) des Grades des Polynomraumes, diese bilden dann auch die Basis (welche n + 1) = Dimension (sofern endlich & kompletter n + 1 Raum aufgespannt)
d.h. Basis von Polynomringen sind Ringelemente, die über x Unbekannte gebildet werden, wobei die Basis dieser Ringelemente wieder in sich abgeschlossen sein muss
Oder habe ich einen Denkfehler drinnen?
Und danke nochmal :)
  ─   sven03 27.06.2021 um 13:00

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Genau, einen allgemeinen Vektorraum darf man sich nicht mit Pfeilen oder Tupeln oder so vorstellen, sondern als abstraktes Objekt mit den Regeln aus der Definition.
Im Zusammenhang mit Polynomen gibt es verschiedene Konstruktionen:
Über einem Körper $K$ kann man den Vektorraum aller Polynome mit Grad kleiner gleich $n$ betrachten; das ist ein $n+1$-dimensionaler Vektorraum mit Basis $1,x,x^2,\ldots,x^n$ und die Abgeschlossenheit ist klar, denn die Summe von zwei Polynomen vom Grad kleiner gleich $n$ ist wieder ein Polynom vom Grad kleiner gleich $n$. Das ist aber kein Polynomring, denn dazu müsste das Produkt von zwei Polynomen wieder Grad $\leq n$ haben, und das ist im Allgemeinen nicht der Fall.
Man kann aber auch die Menge aller Polynome über $K$ betrachten, das ist der sogenannte Polynomring $K[X]$. Ein Polynom ist ja formal erstmal nur ein endlicher(!) Ausdruck der Form $a_nX^n+\ldots+a_0$, und es ist offensichtlich, dass Produkte, Summen und skalare Vielfachen von Polynomen wieder Polynome sind, d.h. $K[X]$ ist ein wohldefinierter $K$-Vektorraum und zusätzlich noch ein Ring. Über Nullteilerfreiheit musst du dir hier übrigens keine Gedanken machen, solange $K$ ein Körper ist, ist das immer gegeben.
Man kann aber auch den Polynomring $R[X]$ über einen beliebigen kommutativen Ring mit $1$ betrachten, dann wird es etwas komplizierter, weil es eben so Dinge wie Nullteiler gibt, aber trotzdem ist $R[X]$ noch ein Ring. Natürlich ist $R[X]$ kein Vektorraum mehr, da $R$ ja kein Körper ist.
  ─   stal 27.06.2021 um 13:21

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