Integration von einem nichtlinearen Bruch

Aufrufe: 152     Aktiv: 25.06.2022 um 14:25

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Hallo! Ich hätte die Frage, wie man folgenden Ausdruck integrieren kann:

2x  *  [4 - (x^2) ] ^0,5

Wäre unter der Wurzel ein linearer Ausdruck, könnte ich das Integral partiell bestimmen. Durch das x^2 habe ich aber keinerlei Ahnung, wie ich dieses Problem gelöst bekommen kann.

Vielen Dank für Ihre Hilfe!
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Das man das hoch $0,5$ als Wurzel schreiben kann weißt du sicherlich? Ansonsten ist bei sowas oft der Weg den Term unter der Wurzel zu substituieren. Das sollte auch hier zum Erfolg führen. Versuch es erst einmal selbst mit der Substitution und wenn du nicht weiterkommst melde dich nochmal.
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Ein beim Integrieren oft vernachlässigte Fähigkeit ist das Ableiten (was ja viel einfacher ist). Wer souverän mit der Kettenregel ableiten kann, wird bei dieser Funktion hier gleich sehen, wie man an die Stammfunktion kommt. Ganz ohne Substitution. Also: übe das Ableiten (das brauchst Du für die Probe der Stammfunktion sowieso). Probiere mal was (irgendwas!) aus, was beim Ableiten ungefähr den vorgegebenen Ausdruck ergeben könnte.   ─   mikn 25.06.2022 um 00:22

@maqu Genau, das weiß ich.
Jedoch wenn ich substituiere, erhalte ich für die Ableitung von u (der Ausdruck unter der Wurzel) das folgende:

1/2du =x*dx

Wenn ich das x nun auf die andere Seite dividieren würde, ergäbe das einen Ausdruck der x und du enthält?!

Danke
  ─   user998922 25.06.2022 um 00:37

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An den Frager: du kannst $x\text{d} x$ durch $\frac{1}{2} \text{d}u$ ersetzen. Üblich ist es aber nach $\text{d}x$ umzustellen, also $\text{d}x=\frac{1}{2x} \text{d}u$. Dann kürzt sich das $x$ wie cauchy beschrieben hat weg und das was übrig bleibt solltest du dann einfach integrieren können. Beides führt zum gleichen Ergebnis m.
Falls du ein bestimmtes Integral haben solltest, vergiss nie die Grenzen mit zu substituieren!

Versuch das mal sauber aufzuschreiben, du kannst deinen Versuch gerne hochladen. Den Hinweis von mikn solltest du auch mal nachgehen, manchmal ist gar keine Substitution notwendig. Wenn du Substitution aber noch nicht ganz verstanden hast, ist das auf jeden Fall eine gute Übung dafür.

Da ich gesehen habe das du eine andere Frage mit ähnlicher Problematik gestellt hast, versuche doch erst einmal diese Aufgabe ordentlich aufzuschreiben und zu verstehen. Dann klärt sich vielleicht deine andere Frage automatisch mit. Wie gesagt, falls noch etwas unklar ist, die Frage editieren und Rechenweg hochladen.
  ─   maqu 25.06.2022 um 14:25

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