Hypergeometrische Verteilung mehrere Urnen

Erste Frage Aufrufe: 89     Aktiv: 26.05.2021 um 10:49

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Hallo zusammen, ich brache Unterstützung bei der folgenden Aufgabe: 

In zwei Urnen liegen je N–1 weiße Kugeln und eine rote Kugel. Wir ziehen aus beiden Urnen blind ohne Zurücklegen

je n Kugeln (n < N).

Dann legen wir sämtliche 2N Kugeln in eine Urne und ziehen daraus blind 2n Kugeln, wieder ohne Zurücklegen.

Bei welchem der beiden Ziehungsvorgänge ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass sich (mindestens) eine rote Kugel

unter den gezogenen befindet?


Bei einer Urne verstehe ich, dass ich die Formel der Hypergeometrischen Verteilung verwenden muss, aber wie ist es im Falle von 2 Urnen?
Also mein Ansatz ist: ich kann eine rote Kugel aus Urne 1 ziehen und 0 aus Urne 2 ziehen, dann kann ich 0 Kugeln aus der Urne 1 ziehen und 1 Kugel aus der Urne 2 und ich kann aus beiden eine rote ziehen.
Multipliziere ich dann wegen der stochastischen unabhängigkeit wie folgt?



Vielen Dank im Voraus!
Jana

 

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Die Aufgabe klingt zunächst recht kompliziert ist aber eigentlicht recht simpel. Denn die Ziehung aus Urne 1 und 2 sind ja völlig unabhängig. Da es nur darum geht, dass es mehr als eine Rote sind, reicht es, dass eine der beiden Ziehungen eine Rote Kugel erbringt. Demnach berechnet man einfach die Wahrscheinlichkeit für Urne 1 und die für Urne 2 (jeweils, dass man mindestens 1 Rote zieht) und addiert diese Wahrscheinlichkeiten (da beide Urnen gleich sind, ist es einfach das doppelte). Für den vergleich der im folgenden gefordert ist gilt daher:
\(E_1:\) seperiertes Ziehen
\(E_2:\) Vermischen und dann ziehen

\(P(E_1) = 2 \cdot ( 1 - \frac{\binom{1}{N} \cdot \binom{N-1}{n}}{\binom{N}{n}})\)
\(P(E_2) = 1 - \frac{\binom{2}{2N} \cdot \binom{2N-2}{n}}{\binom{2N}{2n}} \)

Jetzt gilt es beide Terme zu vergleichen, das überlasse ich erstmal dir, sonst sag Bescheid.
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Hallo cedricr,

danke für deine Antwort! Ich habe noch eine Frage:
sollen die Gegenwahrscheinlichkeiten dann aber nicht in Nenner 1 über 0 bzw. 2 über 0 haben, weil der Anteil von roten Kugeln 0 ist?
  ─   user828c3d 26.05.2021 um 10:49

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