Salz von Stolz Analysis

Aufrufe: 72     Aktiv: 11.05.2021 um 19:22

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Hiii Kann jemand mir helfen?ich hab online die Lösung von der Aufgabe gefunden und eine Stelle hab ich nicht verstanden,kann jemand mir erklären?
Danke!

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Student, Punkte: 92

 

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Das ist einfach der Binomische Lehrsatz: $$(n-1)^{k+1}=\sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}i(-1)^in^{k+1-i}=n^{k+1}-(k+1)n^k+\ldots,$$ wobei die erste Gleichheit eben der Binomische Lehrsatz ist und nach dem zweiten Gleichheitszeichen einfach die Terme für \(i=0\) und \(i=1\) ausgeschrieben wurden. Die Argumentation ist, das alle Terme, die im \(\ldots\) kommen, eine kleinere \(n\)-Potenz haben und deshalb deutlich langsamer wachsen als \(n^k\), sodass sie für den Grenzwert vernachlässigbar sind.
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Ah Danke ich hab eben selbst probiert und verstanden,jetzt habe ich wieder eine Problem,wie bekommt man eigentlich 1/1+k mit diesem Form,n ist gegen unendlich kvgt,warum kann man einfach der Rest ignorieren und 1/1+k bekommen ??   ─   anonym 11.05.2021 um 18:52

Du verwendest eben diesen Satz von Stolz, um auf $$\lim_{n\to\infty}\frac{1^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1^k+\ldots+n^k)-(1^k+\ldots+(n-1)^k)}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}$$ zu kommen. Vereinfachen gibt $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{(k+1)n^k+\text{Terme mit niedrigerem Grad}}$$ Es ist allgemein bekannt, dass der Grenzwert von ganzrationalen Funktionen mit gleichem Zähler- und Nennergrad der Quotient der Leitkoeffizienten ist. Wenn dir das nichts sagt, kannst du Zähler und Nenner durch \(n^k\) teilen: $$\lim_{n\to\infty}\frac1{k+1+\text{Terme mit }n\text{ im Nenner}}$$ und die Terme mit \(n\) im Nenner gehen für \(n\to\infty\) gegen \(0\), sodass \(\frac1{k+1}\) übrig bleibt.   ─   stal 11.05.2021 um 19:12

Danke!!!   ─   anonym 11.05.2021 um 19:22

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