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Für \(x \ge 0\) definieren wir die Funktion \(f(x)=\frac{4x-7}{3x+5}\). Für die Ableitung gilt \(f^{\prime}(x)= \frac{41}{(3x+5)^2} > 0\). Also ist \(f\) monoton steigend. Da \(a_n = f(n) \) ist, ist somit auch die Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \) monoton steigend. Somit ist \(a_0 = -\frac{7}{5} \) die größte untere Schranke und \( \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{4}{3} \) die kleinste obere Schranke der Folge.
(Wenn die Folge erst bei \(a_1 = -\frac{3}{8}\) beginnt, dann ist dies natürlich die größte untere Schranke)
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42
Student, Punkte: 7.02K
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Vielleicht sollte ich noch etwas zum Nachweis sagen, dass es sich hier wirklich um die Schranken handelt. Da die Folge monoton steigend ist, ist \(a_n \ge a_0\) und außerdem gilt für alle \( \varepsilon > 0 \) die Ungleichung \(a_0 < a_0 + \varepsilon \). Also erfüllt \(a_0\) die Definition einer größten unteren Schranke. Dass die Folge monoton steigend ist, impliziert auch \(a_n \le \lim_{n \to \infty} a_n \) und außerdem finden wir (per Definition des Limes) für alle \( \varepsilon > 0 \) immer ein \(a_k\) mit \( a_k > \lim_{n \to \infty} a_n - \varepsilon \). Also erfüllt \( \lim_{n \to \infty} a_n \) die Definition einer kleinsten oberen Schranke.
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42
06.05.2020 um 20:41
Vielen Dank für die Hilfe! Wir haben das soweit verstanden! Bei uns warf sich nur die Frage auf, ist es bei streng monoton fallenden Folgen genauso?
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namurix
06.05.2020 um 21:14
Freut mich, wenn ich helfen konnte.
Bei monoton fallenden Folgen wäre dann \( \lim_{n \to \infty} a_n \) die größte untere Schranke und \(a_0\) die kleinste obere Schranke. ─ 42 07.05.2020 um 02:35
Bei monoton fallenden Folgen wäre dann \( \lim_{n \to \infty} a_n \) die größte untere Schranke und \(a_0\) die kleinste obere Schranke. ─ 42 07.05.2020 um 02:35
Vielen Dank! Das hat uns echt sehr geholfen^^
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namurix
07.05.2020 um 02:45