Vollst. Induktion, Summenzeichen

Aufrufe: 925     Aktiv: 19.02.2021 um 13:59
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Ich hab so angefangen, aber wie man sieht, stimmt es nicht. Kann mir jemand sagen, was mein Fehler ist?

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Student, Punkte: 260

 
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Wenn du bei IS die Summe aufsplittest musst du für \(k\) erst \(2n+1\) und dann noch \(2n+2\) einsetzen.

\(\sum\limits_{k=n+1}^{2n+2} 2k = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k + \sum\limits_{k=\color{red}{2n+1}}^{2n+2} 2k\)
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Aber dann krieg ich das Summenzeichen doch nicht weg? Verstehe nicht, was richtig wäre.   ─   akimboslice 18.02.2021 um 20:13
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Die erste Summe ist IV und die zweite hat ZWEI Summanden. Also einsetzen :)   ─   math stories 18.02.2021 um 20:14
Sorry, aber ich versteh nur Bahnhof.   ─   akimboslice 18.02.2021 um 20:15
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Hey, ich habe eine Sache übersehen, du wahrscheinlich auch :D
Du musst unten in der Summe auch \(n\) um eins erhöhen
   ─   math stories 18.02.2021 um 20:34
Oh ja, stimmt :D Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das 3. Summenzeichen wegbekomme. Das allererste (links vom Gleichzeichen) krieg ich weg, indem ich die IH einsetze. Das zweite (erste nach dem Gleichzeichen), indem ich die IV einsetze. Wenn ich es aber so mache, wie du vorgeschlagen hast und am Ende noch ein Sigma da stehe, wie krieg ich das weg? Stehe auf dem Schlauch   ─   akimboslice 18.02.2021 um 20:45
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Habe dir grad nochmal geantwortet. Kannst du die Umformungen nachvollziehen?   ─   math stories 18.02.2021 um 20:46

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Korrektur:

IS: Wenn du \(3(n+1)^2 + (n+1) \) 
sollte \(3n^2+7n+4\) rauskommen. Du musst die \(3\) auch zur \(1\) reinziehen.

Bei der Summe musst du überall wo vorher \(n\) stand jetzt \(\color{red}{(n+1)}\) einsetzen (auch bei \(k=...\):


\( \sum\limits_{k=n+1+1}^{2(n+1)} 2k = \sum\limits_{k=n+2}^{2n+2} 2k =\sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} 2(k+1)=\sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} (2k+2) = \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} 2k + \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}2\)
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Die erste Summe splittest du jetzt auf, sodass du die IV anwenden kannst und die Zweite (zu "zählst" quasi 2-en. Wie viele= (Obere Grenze minus Untere Grenze plus 1)   ─   math stories 18.02.2021 um 20:51
Wieso ist beim dritten Sigma plötzlich oben 2n+1? Davor war es 2n+2. Ich versteh wirklich nur Bahnhof gerade, obwohl du dir so Mühe gegeben hast. Aber ich versteh es einfach nicht. Selbst wenn ich deine Umformungen hier verstünde, wüsste ich nicht, wie ich dann weiter auflöse.   ─   akimboslice 18.02.2021 um 21:09
Wieso wird zB beim dritten Sigma aus 2k -> 2(k+1)? Nur das n wird doch zu n+1   ─   akimboslice 18.02.2021 um 21:10
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Ok, verstehe dein "Problem". Du machst an der Stelle eine Indexverschiebung. Hast du das schonmal gehört?
Indexverschiebung bedeutet: die Obere und untere Grenze je ein kleiner, dafür statt k, k+1
Wenn du Werte einsetzt kommt exakt das gleiche raus!

Generell ist dein Ziel, du willst die Form der IV bekommen.

Hoffe du verstehst stept by step ,was ich meine :D
   ─   math stories 18.02.2021 um 21:14
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Zusammenfassend!
Ziel: du willst die IV anwenden, d.h. du sollest irgendwie auf die Summe mit den Grenzen der IV kommen.   ─   math stories 18.02.2021 um 21:17
Okay, das hab ich jetzt sogar verstanden, komme aber trz nicht auf die Lösung. Bin soweit gekommen: https://ibb.co/RNpM22p   ─   akimboslice 19.02.2021 um 11:36
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Hey, du hast richtig erkannt, was noch fehlt! Du kannst die Summe aber bis \(2n\) schreiben und den letzten (den \(2n+1\)-sten. Einsetzen und dazuaddieren:

\(\sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} 2k =\sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k \color{red}{+2\cdot(2n+1)} \)   ─   math stories 19.02.2021 um 11:47
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Sehr nett von dir. Habe es weiter gemacht und komme jetzt bis hierhin: https://ibb.co/dgszRN2   ─   akimboslice 19.02.2021 um 12:24
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Sieht sehr gut aus!

Bei der letzten Summe hast du kein \(k\) mehr. D.h. du "zählst quasi" wie oft der innere Term vorkommt. Ich empfehle dir außerdem den Term vor die Summe zu ziehen und eine \(1\) stehen zu lassen:

Beispiel:
\(\sum\limits_{k=2}^{3} 2 = 2\cdot \sum\limits_{k=2}^{3} 1 = 2\cdot [1+1] \)

Wieso \(1+1\) ? Du summierst ja \(1\) zweimal auf (für \(k=2\) und für \(k=3\)).

Wenn du also sowas hast, musst du immer den Term so oft aufsummieren wie die Grenzen angeben. Hier \(3-2 \color{red}{ +1}=2\).

Damit kannst du das wahrscheinlich übertragen oder?   ─   math stories 19.02.2021 um 12:37
Stimmt, das hab ich mal gelernt. Ich hab jetzt die 2 vorgezogen und hab das Sigma mit:
obere Grenze 2n+1
untere Grenze n+1
rechts vom Sigma: 1
Ergibt das 2n? In deinem Beispiel waren es ja natürliche Zahlen. Von (n+1) bis 2(n+1) fehlt ja nur die "mal 2". Aber ich muss letzten Endes ja auf 2n kommen, damit ich insgesamt dann die 7n von der IH habe.   ─   akimboslice 19.02.2021 um 12:45
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Wenn ich das so einsetze, dann kommt raus:

\( \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}2 =2\cdot \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}1 = 2\cdot [(2n+1) - (n+1) +1] = 2\cdot [2n+1-n-1+1]=2\cdot [n+1]=2n+2 \)   ─   math stories 19.02.2021 um 13:19
Wow, dann stimmt alles tatsächlich. Vielen Dank für deine Hilfe und deine Engelsgeduld. Könnte ich dich irgendwo (per Mail, Telegram o.Ä.) was Anderes fragen? Eine Art Angebot, da du doch ziemlich gut zu sein scheinst.   ─   akimboslice 19.02.2021 um 13:28
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Hoffe ich doch, das es stimmt! 😎 Freut mich, dass du's raus hast.

Lass mir gern eine Bewertung da und akzeptiere die Antwort ✅.

Kontaktdaten gebe ich allerdings nicht öffentlich raus.   ─   math stories 19.02.2021 um 13:49
Will dich nur was fragen, was nichts hiermit zu tun hat. Mir ist schon klar, dass man einem Fremden keine Kontaktdaten gibt.   ─   akimboslice 19.02.2021 um 13:51

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