Vorgeschlagene Terme einer gebrochen rationalen Funktion anhand eines vorgegebenen Graphen zuordnen

Aufrufe: 908     Aktiv: 28.06.2020 um 22:16
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Es gibt einen vorgegebenen Graphen einer gebrochen, rationalen Funktion:

Mit senkrechten Asymtoten bei -1,1 und 2.

Ein Punkt ist benannt: (0;0,5)

Die Lösung lautet:

x^2+x^0

___________________

1x^3 - 2x^2 - x^1 +2^1

 

Man soll aus dem Graphen die gebrochen rationale Funktion benennen und hat folgende Vorschläge:

Zähler: x^2, x^3, x^4, x^1, x^0

Nenner: 2x^2, 3x^1, 1x^3, 4x^2, 2^1, 2x^3, x^1, x^4

 

Vorgebenen sind 2 leere Felder im Zähler & 4 leere Felder im Nenner:

        ____  +      ____

_____________________

____ - ____- ____ + ____

Ich komme nicht auf die Lösungsansätze. Nur, dass f(0) = 1/2 sein muss. Dann geht nichts mehr.

Die Aufgabe lautet, dass man aus vorgeschlagenen Termen die gebrochen rationale Funktion finden soll.

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Ich habe dir mal allgemein erklärt wie es geht. Geht es um das Allgemeine oder um diesen speziellen "Einsetz" Fall?   ─   derpi-te 28.06.2020 um 20:43
Danke.
Im Prinzip geht es um Beides. Ist ein Aufgabentyp, den ich für die Prüfung können muss.   ─   anonym1e659 28.06.2020 um 22:03
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Ein wenig konkreter. Sorry, dass ich mich einmische. Hatte das parallel abgetippt 😊

Senkrechte Asymptoten erfordern Definitionslücken. Der Nenner muss also 0 ergeben für x=-1; 1; 2. Am einfachsten erreicht man das mit dem Term (x+1)(x-1)(x-2). Multipliziert man das aus, dann ergibt sich die vorgesehene Lösung im Nenner.

Dann weiß man, der Nenner wird 2 für x=0, also muss der Zähler in diesem Fall 1 ergeben. Deshalb muss x^0 dort enthalten sein. 

Die letzte Lücke erfordert nun weitere Infos aus dem Schaubild. Gibt es eine waagrechte Asymptote? (Muss es der Lösung nach geben, y=0) Und das Verhalten der Funktion an den Polstellen regelt den Rest.

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Das mit dem Nenner ist mir nun klar. Danke. Wenn es eine waagerechte Asymtote y=0 gibt muss der Zählergrad kleiner als der Nennergrad sein. Warum kann da nicht x^1 + x^0 rauskommen?   ─   anonym1e659 28.06.2020 um 21:21
Für x^1+x^0 ergäbe nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler für x=-1 Null. Damit wäre das keine Polstelle mehr, sondern eine hebbare Definitionslücke und es gäbe keine senkrechte Asymptote bei x=-1.   ─   andima 28.06.2020 um 21:34
:-) Danke, also schaue ich mir bei so einem Aufgabentyp erst den Nenner an und dann den Zähler, oder?
Hätte ich diese Frage doch bloß schon heute Mittag gestellt, dann hätte ich mich nicht so „festgebissen“.   ─   anonym1e659 28.06.2020 um 21:51
Da der Nenner sich über die senkrechten Asymptoten ganz gut bestimmen lässt ... kann man das wohl für diesen Aufgabentyp schon so sagen ... wobei unter Umständen auch im Nenner danach noch Anpassungen nötig sein könnten (Quadrat an eine Klammer) ... wenn ich mir das gerade richtig durch den Kopf gehen lasse 😊   ─   andima 28.06.2020 um 22:16

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Senkrechte Asymptoten hat man an Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Also für die jenigen x-Werte für die das Nennerpolynom der gebrochenen rationalen Funktion den Wert 0 annimt.

Das ist für folgendes in faktoristierter Form gegebenes Polynome erfüllt, was durch den Satz vom Nullprodukt leicht erklärt ist: 

y = (x+1) * (x-1) * (x-2)

Das muss jetzt erstmal in denn Nenner, sodass das raus kommt:

{1} / {(x+1) * (x-1) * (x-2)}

Wenn man x=0 setzt, soll also 0,5 rauskommen. In unserem jetzigen Polynom kommt für x=0 folgendes raus:

-0,5 

 

Das müssen wir jetzt mit -4 multiplizieren, um auf 0,5 zu kommen: 

f(x) = {-4} / {(x+1) * (x-1) * (x-2)}

Fertig! Noch Fragen? Gerne melden!

Viele Grüße

 

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