Beweise die folgende Ungleichung bezüglich Maximum und Minimum

Erste Frage Aufrufe: 149     Aktiv: vor 4 Tagen, 11 Stunden

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Hi, ich soll zeigen, dass für alle ak>0 gilt Minimum(a1,...,an) <=(a1***an)^(1/n)<= Maximum(a1,...,an).

Ich würd als minimum a1 und als maximum an festlegen, donn dann häng ich bereits:/

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Wenn man von der Annahme \(min=a_1\) und \(max=a_n\) ausgeht, die o.B.d.A. gemacht werden kann, ist doch der Beweis trivial: \(a_1\leq\sqrt[n]{\Pi_{i=1}^na_i}\leq a_n\iff a_1^n\leq\Pi_{i=1}^n a_i\leq a_n^n\), weil für jedes \(a_i\) gilt: \(a_1\leq a_i\leq a_n\)
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Danke, genau so hab ichs dann eh auch gemacht   ─   pleasehelp vor 4 Tagen, 11 Stunden

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Festlegen darf man hier nichts (ok, es gibt das "o.B.d.A."-Argument, aber das meinst Du vermutlich nicht).
Die Wurzelfunktion ist eine monotone Funktion, d.h. $\sqrt{x}$ wird größer, wenn man $x$ durch etwas größeres ersetzt. Das gilt auch für die $n$-te Wurzel.
Wir setzen mal: $m:=\min\{a_1,\ldots,a_n\}$ und $M:=\max\{a_1,\ldots,a_n\}$.
Nun betrachten wir den Ausdruck in der Mitte: $\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$. Wie kann man diesen Ausdruck größer machen? Benutze $M$ dabei.
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Lehrer/Professor, Punkte: 18.86K

 

Mhhh indem man das maximum also M verwendet also die n-te Wurzel von M, falls ich deine Frage richtig versteh? Also man kann ihn größer machen, indem man M verwendet?   ─   pleasehelp 23.11.2021 um 22:39

Dass man M verwendet, hab ich ja schon gesagt, aber wie denn? Also:
$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le \sqrt[n]{?}$
  ─   mikn 23.11.2021 um 23:00

Du kannst auch (geht fast immer in Mathe) mit einem Zahlenbeispiel anfangen: n=3, wähle drei Zahlen, schreibe die Beh. hin (erstmal die dem Max.), und weise sie dann mit den obigen Hinweisen für diesen Zahlenbeispiel nach (ohne TR natürlich!).   ─   mikn 23.11.2021 um 23:45

Es tut mir leid ich versteh es einfach nicht, wenn ich jz 3-te Wurzel aus 1*2*3 und beim maximum hab ich dann 3-te wurzel aus 3, das ja immer kleiner, oder wend ichs schon falsch an? Wieso wende ich überhaupt rechts auch die nte Wurzel an, das steht bei der Behauptung ja nicht?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 09:36

Ok eine idee hab ich doch, wenn ich die zahlen 0.7,0.8,0.9 nehme, dann hätt ich ja links die drittewurzel aus den drei zahlen multipliziert und rechts hätt ich dann die drittewurzel von 0,9 und dann würde das ergebnis stimmen, und das würde für alle zahlen zwischen 0 und 1 gelten, hast du das gemeint?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 09:47

Es ist kein Sonderfall für Zahlen $\le 1,\ge 1$ nötig. Hast Du meine allererste Antwort verstanden? Und Du hast trotzdem $\sqrt[3]{1\cdot 2\cdot 3}\le \sqrt[3]{3}$ auf Deinem Zettel stehen?   ─   mikn 24.11.2021 um 13:01

Ich schätz ich hab die Antwort oben nicht verstanden? Ich hab jz nochmal was anderes, links hab ich den gleichen und rechts hab ich jz unter der wurzel ((1+2+3)/3) weil nach der ungleichung zwischen arithm. und geometr. Mittel ist das dann größer (auch wenn mans berechnet)   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 14:16

Mit dem arith. Mittel haben wir nichts zu tun. Die Aufgabe steht in normaler Handschrift gemessen 3cm vor der Lösung, deshalb kann ich da kaum mehr zu sagen. Wir wollen $\sqrt[3]{1\cdot 2\cdot 3}$ größer machen. Wir wissen: $1\le 3, 2\le 3, 3\le 3$. Mehr brauchst Du nicht. Diesen Kommentar hier und die erste Antwort oben.   ─   mikn 24.11.2021 um 14:24

Indem wir hoch n rechnen? Also hoch 3? Dann hab ich links vom <= 6 und rechts 3^3 ist 9? Oder ist das wieder falsch? Das tut mir echt leid   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 14:40

Es wird nicht hoch3 gerechnet, es wird unter der Wurzel größer gemacht. Dann gehen wir runter auf Grundschule: Es soll $1\cdot 2\cdot 3$ größer gemacht werden, ohne zu rechnen. Wir wissen $1\le 3, 2\le 3, 3\le3$. Später kann man dann über das ganze die Wurzel schreiben (wenn Du die Antwort ganz oben verstanden hast, d.h. Du weißt, was Monotonie bei Funktionen bedeutet).   ─   mikn 24.11.2021 um 14:51

1*2*3=1*(1+1)*(1+2)?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 15:14

Wo hast Du da z.B. $2\le 3$ verwendet?
Ein Produkt wird größer, wenn einer der Faktoren größer wird (bei positiven Zahlen).
  ─   mikn 24.11.2021 um 15:26

Ich verstehs einfach nicht, wo ich hin soll? Ich weiß nicht wie ichs größer machen soll, soll ich schreiben 1*2*3 = 1*(3+3)?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 15:55

Mit = wird nichts größer. Warum willst Du was rechnen? Ich hab es Dir soweit runtergebrochen, dass Du nichts rechnen oder umschreiben musst. Beispiel: wir haben $a\le 3$, $b\le 7$. Dann ist $a\cdot b\le ?$.   ─   mikn 24.11.2021 um 15:59

Ja 21, also oben dann <=6?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 16:01

DU SOLLST NICHT (AUS)RECHNEN   ─   mikn 24.11.2021 um 16:16

3*7 das maximum?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 16:31

3*7. Punkt. Ich will Dich dadurch führen, aber Du weichst ständig ab und springt woanders hin.
Jetzt die Grundschulaufgabe bitte. UND NICHT MEHR; NUR DIE.
  ─   mikn 24.11.2021 um 16:39

1*2*3<=1*2*3 bin dir wirklich sehr dankbar dafür, obwohl ich ziemlich schwierig bin   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 18:00

Da ist ja nichts größer. Nimm meinen Kommentar weiter oben wo "Grundschule" drin vorkommt. - Ich weiß nicht, ob Du schwierig bist. Vielleicht fehlen auch Grundkenntnisse. Ein wenig bin ich hier noch online.

  ─   mikn 24.11.2021 um 18:10

Ja, dass seh ich, meinst du <=3*3*3? Weil 1<=2 usw…?   ─   pleasehelp 24.11.2021 um 18:29

Ja. Ich hoffe das war der Durchbruch. Weise dann für diesen Fall (n=3 mit 1,2,3) die Beh. (den max-Teil) nach. Danach den allgemeinen Fall. Der min-Teil geht dann genauso.   ─   mikn 24.11.2021 um 18:37

Ouh, danke, also hab ich dann
Wurzel(1*2*3)<=3 /()^3
1*2*3 <= 3^3
Usw. Oder bereits oben in der ersten zeile 3*3*3

  ─   pleasehelp 24.11.2021 um 18:44

Ja, jetzt mach doch diesen Beispiel-Fall komplett fertig.   ─   mikn 24.11.2021 um 22:32

Ja dann folgt am schluss noch 1*2*3=6<=9=3^3, da kann ich jz ausrechnen oda? Ich denk imma nur ans rechnen   ─   pleasehelp 25.11.2021 um 07:15

Du sollst bei der ganzen Aufgabe, inkl. aller Zahlenbeispiele, nichts ausrechnen.   ─   mikn 25.11.2021 um 12:54

Dann lass ich das schon so mit 3^3?   ─   pleasehelp 25.11.2021 um 21:56

Ja, aber wir sind ja noch nicht mal mit diesem Mini-Beispiel fertig. Mach mal und melde Dich mit dem fertig ausformulierten Beweis für das Mini-Beispiel wieder.   ─   mikn 25.11.2021 um 22:01

Ich würd so schreiben, also 1 is das minimum und 3 das maximum. Dann ist 1<= 3Wurzel(1*2*3) <=3
<=> 1^3 <= 1*2*3 <= 3^3 und da 1<=3 folgt die Behauptun
  ─   pleasehelp vor 6 Tagen, 5 Stunden

Ich hatte vorgeschlagen: erstmal max fertig machen. Dann 3.Wurzel nach oben abschätzen: $\sqrt[3]{1\cdot 2\cdot 3}\le... $. Andere Wege möchte ich nicht unterstützen, diese Aufgabe zieht sich eh schon zu lange hin.   ─   mikn vor 6 Tagen, 5 Stunden

Wir haben die aufgabe heute gemacht und ich versteh sie jetzt, tut mir leid, das dies so lange gedauert hat, ich möchte dir aber wirklich sehr für deine hilfe danken   ─   pleasehelp vor 5 Tagen, 6 Stunden

Ok, gerne.   ─   mikn vor 5 Tagen, 5 Stunden

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