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Beweise die folgende Ungleichung bezüglich Maximum und Minimum

Erste Frage Aufrufe: 699 Aktiv: 28.11.2021 um 11:00

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Hi, ich soll zeigen, dass für alle ak>0 gilt Minimum(a1,...,an) <=(a1***an)^(1/n)<= Maximum(a1,...,an).

Ich würd als minimum a1 und als maximum an festlegen, donn dann häng ich bereits:/

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gefragt 23.11.2021 um 22:01

pleasehelp
Punkte: 35

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2 Antworten

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mikn · Answer 1 · 2021-11-23T22:26:16Z

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Festlegen darf man hier nichts (ok, es gibt das "o.B.d.A."-Argument, aber das meinst Du vermutlich nicht).
Die Wurzelfunktion ist eine monotone Funktion, d.h.

$\sqrt{x}$ wird größer, wenn man

$x$ durch etwas größeres ersetzt. Das gilt auch für die

$n$ -te Wurzel.
Wir setzen mal:

$m:=\min\{a_1,\ldots,a_n\}$ und

$M:=\max\{a_1,\ldots,a_n\}$ .
Nun betrachten wir den Ausdruck in der Mitte:

$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ . Wie kann man diesen Ausdruck größer machen? Benutze

$M$ dabei.

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geantwortet 23.11.2021 um 22:26

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.1K

Mhhh indem man das maximum also M verwendet also die n-te Wurzel von M, falls ich deine Frage richtig versteh? Also man kann ihn größer machen, indem man M verwendet? ─ pleasehelp 23.11.2021 um 22:39

Es tut mir leid ich versteh es einfach nicht, wenn ich jz 3-te Wurzel aus 1*2*3 und beim maximum hab ich dann 3-te wurzel aus 3, das ja immer kleiner, oder wend ichs schon falsch an? Wieso wende ich überhaupt rechts auch die nte Wurzel an, das steht bei der Behauptung ja nicht? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 09:36

Ok eine idee hab ich doch, wenn ich die zahlen 0.7,0.8,0.9 nehme, dann hätt ich ja links die drittewurzel aus den drei zahlen multipliziert und rechts hätt ich dann die drittewurzel von 0,9 und dann würde das ergebnis stimmen, und das würde für alle zahlen zwischen 0 und 1 gelten, hast du das gemeint? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 09:47

Ich schätz ich hab die Antwort oben nicht verstanden? Ich hab jz nochmal was anderes, links hab ich den gleichen und rechts hab ich jz unter der wurzel ((1+2+3)/3) weil nach der ungleichung zwischen arithm. und geometr. Mittel ist das dann größer (auch wenn mans berechnet) ─ pleasehelp 24.11.2021 um 14:16

Indem wir hoch n rechnen? Also hoch 3? Dann hab ich links vom <= 6 und rechts 3^3 ist 9? Oder ist das wieder falsch? Das tut mir echt leid ─ pleasehelp 24.11.2021 um 14:40

1*2*3=1*(1+1)*(1+2)? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 15:14

Ich verstehs einfach nicht, wo ich hin soll? Ich weiß nicht wie ichs größer machen soll, soll ich schreiben 1*2*3 = 1*(3+3)? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 15:55

Ja 21, also oben dann <=6? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 16:01

3*7 das maximum? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 16:31

1*2*3<=1*2*3 bin dir wirklich sehr dankbar dafür, obwohl ich ziemlich schwierig bin ─ pleasehelp 24.11.2021 um 18:00

Ja, dass seh ich, meinst du <=3*3*3? Weil 1<=2 usw…? ─ pleasehelp 24.11.2021 um 18:29

Ouh, danke, also hab ich dann
Wurzel(1*2*3)<=3 /()^3
1*2*3 <= 3^3
Usw. Oder bereits oben in der ersten zeile 3*3*3

─ pleasehelp 24.11.2021 um 18:44

Ja dann folgt am schluss noch 1*2*3=6<=9=3^3, da kann ich jz ausrechnen oda? Ich denk imma nur ans rechnen ─ pleasehelp 25.11.2021 um 07:15

Dann lass ich das schon so mit 3^3? ─ pleasehelp 25.11.2021 um 21:56

Ich würd so schreiben, also 1 is das minimum und 3 das maximum. Dann ist 1<= 3Wurzel(1*2*3) <=3
<=> 1^3 <= 1*2*3 <= 3^3 und da 1<=3 folgt die Behauptun
─ pleasehelp 26.11.2021 um 17:08

Wir haben die aufgabe heute gemacht und ich versteh sie jetzt, tut mir leid, das dies so lange gedauert hat, ich möchte dir aber wirklich sehr für deine hilfe danken ─ pleasehelp 27.11.2021 um 16:26

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.