Transformationsmatrix bestimmen

Aufrufe: 5346     Aktiv: 30.06.2020 um 10:14

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Hallo Leute, 

ich versuche gerade die Transformationsmatrix zu berechnen. Genau versuche ich es nach diesem Video vorzugehen: https://www.youtube.com/watch?v=CR7e7Zc0QLg

Leider ist links eine 4x3-Matrix und rechts eine 3x3-Matrix vorhanden(Tabelle). Wie zur Hölle soll das funktionieren xD 🤣

Ich glaube das geht doch garnicht, oder? Oder ich habe was übersehen

Lg

Kamil

 

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Hallo,

die Transformationsmatrix ist in erster Linie auch eine Abbildungsmatrix. Und zwar ist die zugehörige Abbildung die Identitätsabbildung. Die Identitätsabbildung bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Als Beispiel die Funktion

$$ f(x) = x $$

Hier wird jedes \( x \) auf sich selbst abgebildet. Wenn wir nun in beiden Räumen (Definitions- und Zielraum) die selbe Basis hätten, dann wäre die Identitätsbabbildungsmatrix die Einheitsmatrix

$$ E_n \cdot \vec{v} = \vec{v} $$

Jetzt haben wir aber selbstverständlich unterschiedliche Basen, denn genau das wollen wir ja verursachen, einen Basiswechsel. 

Deshalb orientiere dich mal an der Erstellung der Abbildungsmatrix: Um eine Abbildungsmatrix aufzustellen, haben wir zuerst alle Basisvektoren durch die Abbildung gejagt. Dann haben wir die Bilder der Basisvektoren als Linearkombination der Basis des Zielraums dargestellt. Die Koeffizienten waren dann unsere Spalten. 

So gehen wir hier auch vor. Ein Schritt fällt nur trivialerweise weg, denn wir haben hier die Identitätsabbildung. Ist dir klar welcher Schritt wegfällt?

Es ist aber richtig, dass die Transformationsmatrix eine 3x3 Matrix ist. Eine 4x3 Matrix * einer 3x3 Matrix ergibt wieder eine 4x3 Matrix.

Grüße Christian

Edit: Ach ich sehe jetzt erst, das du die Transformationsmatrix doch schon richtig aufgeschrieben hast :D

$$ T_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $$

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Hallo,

ich glaube, dass ich meinen Fehler gefunden habe. Ich habe die Basis B' mit B vertauscht. Lustigerweise führte mich der Fehler auf die richtige Lösung :D?
Ich verstehe leider immer noch nicht, wieso es nach diesem Prinzip hier funktioniert. Anscheinend kann man das hier irgendwie ablesen.

Ich habe es jetzt doch anders gemacht, nach dem Youtube-Video. In dem Bild in der Rechnung habe ich in der Tabelle links B und rechts B' stehen. Ich habe Gauß-Jordan-Verfahren angewendet, sodass ich links auf die Einheitsmatrix komme. Der MathePeter sagte, wenn es keine 0-Zeile rauskommt, dann gibt es auch keine Transformationsmatrix. Bei mir ist das der Fall: Keine 0-Zeile. Ich habe es 3 mal nachgerechnet und finde keinen Fehler. Die Rechnung war der Horror :D
Ich bin jetzt noch mehr verwirrt :/
  ─   kamil 26.06.2020 um 16:11

Ich glaube nicht das du die Basen vertauscht hast. Ich habe mir das Video auch nicht angeguckt. Kann ich nachher mal machen wenn dich das Verfahren von ihm noch interessiert aber es hört sich für mich etwas zu stressig.

Solange du wirklich zwei Basen des selben Vektorraums hast, gibt es immer eine Transformationsmatrix!
Deshalb betrachte die Transformationsmatrix einfach als Spezialfall einer Abbildungsmatrix. Dann musst du für eigentlich das gleiche Thema auch nicht zwei unterschiedliche Schema lernen :p

Also ich habe schon gesagt, dass wir die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung haben. Sagen wir mal allgemein das wir von dem Vektorraum \( V \) in den Vektorraum \( V \) abbilden. Und sagen wir haben beide Male die Basis \( \mathcal{A} \). Dann wäre die Identitätsabbildung die Einheitsmatrix. Ist auch klar, weil wir jeden Vektor auf sich selbst abbilden und beide male die selbe Darstellung haben.

Nun wollen wir aber die Basis ändern. Wir wollen von der Basis \( \mathcal{B}' \) zur Basis \( \mathcal{B} \) wechseln.
Also wir haben nun eine Abbildung \( id: V \to V \) (id ist Identitätsabbildung \( id(\vec{x}) = \vec{x} \)) mit der Basis \( \mathcal{B}' \) im Definitionsraum und der Basis \( \mathcal{B} \) im Zielraum.

Also gehen wir das Schema durch um eine Abbildungsmatrix zu finden. Wir berechnen zuerst die Bilder. Da wir die Identitätsabbildung haben, gilt
$$ id( \vec{b}'_i ) = \vec{b}'_i $$
Jeder Basisvektor wird auf sich selbst abgebildet. Nun müssen wir diese Basisvektoren als Linearkombination der Basis \( \mathcal{B} \) darstellen und die Koeffizienten bilden wieder die Spalten.
Nun ist die neue Basis ja schon als Linearkombination der alten Basis definiert:
$$ \begin{array}{ccc} b_1' & = & 2b_1 + 1b_2 \\ b_2' & = & 2b_1 - 2b_2 \\ b_3' & = & 2b_1 - 3b_3 \end{array} $$
Wir müssen also nur noch die Koeffizienten ablesen und nach und nach als Spaltenvektoren in die Matrix einsetzen
$$ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $$
und das ist unsere Transformationsmatrix :)
  ─   christian_strack 26.06.2020 um 19:53

Ach weil dort Teil 1 steht: Das was du hochgeladen hast, fragt ja nur nach der Transformationsmatrix \( T_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} \).
Wenn du jetzt die gegebene Abbildungsmatrix \( l_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} \) zur Matrix \( l_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}'} \) transformieren willst, haben wir nicht die richtige Transformationsmatrix, weil unsere ja von \( \mathcal{B}' \) in \( \mathcal{B} \) wechselt und wir brauchen die umgekehrte. Diese wäre dann die Inverse :)
  ─   christian_strack 26.06.2020 um 19:58

Hab jetzt doch mal kurz in das Video geguckt. Dort wird ein Basiswechsel von linearen Unterräumen (Untervektorräume) beschrieben. Dafür muss man dann etwas mehr machen, weil man zuerst prüfen muss ob überhaupt der selbe Vektorraum beschrieben wird :)   ─   christian_strack 26.06.2020 um 20:11

Ich verstehe die Abbildung noch nicht ganz richtig. Die b''s sind als Zeilen beschriftet und die b's als Spalten, richtig? Dann muss man die Einheitsvektoren abbilden. Man setzt für a=1 und die anderen b,c=0 ein. Die Koeffizienten sind aber gegeben, oder? Wie soll das gehen? Habe ein Bild oben. Weißt du was ich meine? 🙂   ─   kamil 27.06.2020 um 17:13

Ne anders herum. Die \( b'_i \) sind als Spalten und die \( b_i \) als Zeilen.
Deshalb setzen wir auch die \( b'_i \) in die Abbildung ein und stellen die Bilder als Linearkombination der \( b_i \) dar.
  ─   christian_strack 29.06.2020 um 12:20

Außerdem darst du hier nicht vergessen das wir gar nicht wissen wie genau die Basisvektoren aussehen. Der Basisvektor \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) gehört zum Beispiel zur kanonischen Basis. Das heißt aber nicht das jeder Basisvektor so aussieht.   ─   christian_strack 29.06.2020 um 12:23

Ist das immer so, dass worauf der Pfeil hin zeigt, die Spalten als die Basis gemeint ist? Und die anderen als Zeile? Z.B.: A<-B. Die Spalten sind die Elemente von A, und Zeilen die von B?   ─   kamil 29.06.2020 um 21:26

Ja genau. Der Pfeil zeigt von welcher Basis in welche Basis abgebildet wird.   ─   christian_strack 30.06.2020 um 10:14

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