Hallo,
die Transformationsmatrix ist in erster Linie auch eine Abbildungsmatrix. Und zwar ist die zugehörige Abbildung die Identitätsabbildung. Die Identitätsabbildung bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Als Beispiel die Funktion
$$ f(x) = x $$
Hier wird jedes \( x \) auf sich selbst abgebildet. Wenn wir nun in beiden Räumen (Definitions- und Zielraum) die selbe Basis hätten, dann wäre die Identitätsbabbildungsmatrix die Einheitsmatrix
$$ E_n \cdot \vec{v} = \vec{v} $$
Jetzt haben wir aber selbstverständlich unterschiedliche Basen, denn genau das wollen wir ja verursachen, einen Basiswechsel.
Deshalb orientiere dich mal an der Erstellung der Abbildungsmatrix: Um eine Abbildungsmatrix aufzustellen, haben wir zuerst alle Basisvektoren durch die Abbildung gejagt. Dann haben wir die Bilder der Basisvektoren als Linearkombination der Basis des Zielraums dargestellt. Die Koeffizienten waren dann unsere Spalten.
So gehen wir hier auch vor. Ein Schritt fällt nur trivialerweise weg, denn wir haben hier die Identitätsabbildung. Ist dir klar welcher Schritt wegfällt?
Es ist aber richtig, dass die Transformationsmatrix eine 3x3 Matrix ist. Eine 4x3 Matrix * einer 3x3 Matrix ergibt wieder eine 4x3 Matrix.
Grüße Christian
Edit: Ach ich sehe jetzt erst, das du die Transformationsmatrix doch schon richtig aufgeschrieben hast :D
$$ T_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $$
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Solange du wirklich zwei Basen des selben Vektorraums hast, gibt es immer eine Transformationsmatrix!
Deshalb betrachte die Transformationsmatrix einfach als Spezialfall einer Abbildungsmatrix. Dann musst du für eigentlich das gleiche Thema auch nicht zwei unterschiedliche Schema lernen :p
Also ich habe schon gesagt, dass wir die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung haben. Sagen wir mal allgemein das wir von dem Vektorraum \( V \) in den Vektorraum \( V \) abbilden. Und sagen wir haben beide Male die Basis \( \mathcal{A} \). Dann wäre die Identitätsabbildung die Einheitsmatrix. Ist auch klar, weil wir jeden Vektor auf sich selbst abbilden und beide male die selbe Darstellung haben.
Nun wollen wir aber die Basis ändern. Wir wollen von der Basis \( \mathcal{B}' \) zur Basis \( \mathcal{B} \) wechseln.
Also wir haben nun eine Abbildung \( id: V \to V \) (id ist Identitätsabbildung \( id(\vec{x}) = \vec{x} \)) mit der Basis \( \mathcal{B}' \) im Definitionsraum und der Basis \( \mathcal{B} \) im Zielraum.
Also gehen wir das Schema durch um eine Abbildungsmatrix zu finden. Wir berechnen zuerst die Bilder. Da wir die Identitätsabbildung haben, gilt
$$ id( \vec{b}'_i ) = \vec{b}'_i $$
Jeder Basisvektor wird auf sich selbst abgebildet. Nun müssen wir diese Basisvektoren als Linearkombination der Basis \( \mathcal{B} \) darstellen und die Koeffizienten bilden wieder die Spalten.
Nun ist die neue Basis ja schon als Linearkombination der alten Basis definiert:
$$ \begin{array}{ccc} b_1' & = & 2b_1 + 1b_2 \\ b_2' & = & 2b_1 - 2b_2 \\ b_3' & = & 2b_1 - 3b_3 \end{array} $$
Wir müssen also nur noch die Koeffizienten ablesen und nach und nach als Spaltenvektoren in die Matrix einsetzen
$$ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $$
und das ist unsere Transformationsmatrix :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 19:53
Wenn du jetzt die gegebene Abbildungsmatrix \( l_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} \) zur Matrix \( l_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}'} \) transformieren willst, haben wir nicht die richtige Transformationsmatrix, weil unsere ja von \( \mathcal{B}' \) in \( \mathcal{B} \) wechselt und wir brauchen die umgekehrte. Diese wäre dann die Inverse :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 19:58
Deshalb setzen wir auch die \( b'_i \) in die Abbildung ein und stellen die Bilder als Linearkombination der \( b_i \) dar. ─ christian_strack 29.06.2020 um 12:20
ich glaube, dass ich meinen Fehler gefunden habe. Ich habe die Basis B' mit B vertauscht. Lustigerweise führte mich der Fehler auf die richtige Lösung :D?
Ich verstehe leider immer noch nicht, wieso es nach diesem Prinzip hier funktioniert. Anscheinend kann man das hier irgendwie ablesen.
Ich habe es jetzt doch anders gemacht, nach dem Youtube-Video. In dem Bild in der Rechnung habe ich in der Tabelle links B und rechts B' stehen. Ich habe Gauß-Jordan-Verfahren angewendet, sodass ich links auf die Einheitsmatrix komme. Der MathePeter sagte, wenn es keine 0-Zeile rauskommt, dann gibt es auch keine Transformationsmatrix. Bei mir ist das der Fall: Keine 0-Zeile. Ich habe es 3 mal nachgerechnet und finde keinen Fehler. Die Rechnung war der Horror :D
Ich bin jetzt noch mehr verwirrt :/
─ kamil 26.06.2020 um 16:11