Definition Injektivität

Aufrufe: 236     Aktiv: 08.11.2022 um 23:02

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erstmal schönen guten Morgen,

also ich bin wiederholt gegen die injektivität gestoßen und musste leider feststellen, dass die Definition nicht richtig sitzt, hab ein paar Aufgaben gerechnet und wollte auch ein paar rechnen, welche nicht injektiv sind.

Kurz gesagt:


Ist das rot unten markierte gleich, weil laut Definition müsste es ungleich sein, hoffe man versteht mich.

schonmal danke für die Antworten : )
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Die Funktion \(f(x)=x^2 \) mit Definitionsbereich \(\mathbb {R}\) ist nicht injektiv.Das folgt ja aus deiner Darstellung; nämlich, dass der Wert \(f(x_1) =f(x_2)\) von 2 unterschiedlichen \(x_1  \ne x_2 \)  erzeugt wird.
Auf  \(\mathbb {R_+}\) ist die Funktion injektiv.
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wenn ich diese Skizze nicht hätte und beweisen wollen würde, dass es injektiv ist. An welcher Stelle würde sich der Wiederspruch in dem Beweis bilden, da ich keinen gefunden hab   ─   hanshackebeil 03.11.2022 um 09:24

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Den Widerspruch hast Du doch rot eingerahmt. $\pm$ sollte man auch nicht schreiben, besser ist $x_1^2=x_2^2\iff |x_1|=|x_2|$.
Was vermutlich nicht bei Dir nicht sitzt, ist die Aussagenlogik. Injektiv auf $D$ verlangt "für alle $x_1,x_2\in D$ gilt....". Nun mache Dir klar, was die Negation dieser Aussage ist.
  ─   mikn 03.11.2022 um 10:39

Aber ist das rot eingeramte oben ein Wiederspruch, es sagt doch nur das + - x1 = + - x2 ist, ich sehe dahingehend keinen Wiederspruch.

Und zu den Betragsstrichen, ich habe öfter gesehen das es Leute anstelle des typischen (+ -) aus der Schule benutzen, wenn man dies benutzt muss man doch dann aber noch eine Fallunterscheidung anschließend machen oder ?
  ─   hanshackebeil 03.11.2022 um 18:55

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Hast Du meinen Hinweis mit der Negation durchgearbeitet? Dann klärt sich das mit dem Widerspruch.
Bei Betragsstrichen muss man eben keine Fallunterscheidung machen - erst wenn man die Beträge auflöst. Das ist bei $\pm$ aber nicht anders, auch da wären Fälle zu unterscheiden, nur merkt das vielleicht keiner.
  ─   mikn 03.11.2022 um 21:23

Erstmal tut mir leid wegen der Verzögerung, die Negation der oben stehenden Aussage habe ich wie folgt gebildet.

kann leider kein Bild einfügen, aber ich habe es mithilfe einer Wertetabelle gerechnet, gekommen bin ich darauf, dass


(x1)2 ungleich (x2)2 äquivalent zu | x1 | ungleich | x2 | ist.


sprich wenn ein x1 wert ungleich ein anderer x2 Wert ist, so ist auch deren Beträge ungleich, aber wie kann ich daraus den Widerspruch ablesen.

Vielen Dank nochmal für die Hilfe ist nicht selbstverständlich
  ─   hanshackebeil 05.11.2022 um 11:51

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Es geht um die komplette Eigenschaft "injektiv". Wenn Du "$f$ nicht injektiv" nachweisen willst, heißt das was? Also: Was ist äquivalent zu "$f$ nicht injektiv"? Definition komplett(!) hinschreiben und negieren.   ─   mikn 05.11.2022 um 12:00

wenn ich nachweisen will das eine abbildung nicht injektiv ist schreibe ich: Es exestiert ein x aus der Menge X für das gilt x1 ungleich x2, daraus folgt das f(x1) gleich f(x2) ist.   ─   hanshackebeil 05.11.2022 um 12:12

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Wir kommen der Sache näher. Anfang fast gut (was ist x? Kommt doch gar nicht mehr weiter vor), Ende weniger. Schau mal nach wie eine Folgerung negiert wird.   ─   mikn 05.11.2022 um 12:13

Habe jetzt meine Aussage richtig negiert (rot unterstrichene) sprich: |x1| ungleich |x2| daraus folgt (x1)hoch2 ungleich (x2)hoch2

aber zurück zum Wiederspruch, wie hilft mir das bei meinem Widerspruch weiter ?
  ─   hanshackebeil 05.11.2022 um 12:30

Zum Widerspruch: Wenn Du einen Widerspruch zu "$f$ injektiv" haben willst, musst Du nachweisen, dass "$f$ nicht injektiv" wahr ist. Das geht über die Negation.
Mit der Negation sind wir aber jetzt gaaaanz weit weg vom Ziel. Diese Dinge gehen Zeichen für Zeichen, langsam, sorgfältig, und damit richtig.
Also entsprechend weit zurück:
Wann ist $f$ injektiv? Vollst. Def. bitte.
  ─   mikn 05.11.2022 um 13:09

f ist injektiv wenn: f(x1) = f(x2) daraus folgt x1 = x2

also wenn es einen Funktionswert gibt welcher gleich einem andern ist, so handelt es sich hierbei um dasselbe x (x1 = x2)
  ─   hanshackebeil 05.11.2022 um 20:14

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Nein. Schlag die Def. nach. Wir kommen erst weiter, wenn Du die Def. sauber notiert hast.
Du sagst ja selbst, der Begriff sitzt nicht richtig, und das merkt man. Das sollten wir jetzt beheben.
  ─   mikn 05.11.2022 um 20:16

Injektiv Definition:

Injektiv oder auch eineindeutig, falls sie linkseindeutig ist, also falls für alle y aus im(f) die Menge f^-1({y}) einelementig ist.

d.h. x1,x2 sind Elemente von X mit f(x1) = f(x2), so ist x1 = x2.




Erklärung:
Eine Abbildung ist injektiv, wenn für alle y aus dem Bildbereich (ich weiß nicht was f^-1({y}) darstellen soll) Umkehrfunktion der Menge aller y Elemente ?
  ─   hanshackebeil 06.11.2022 um 10:55

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$f^{-1}(\{y\})$ ist die Urbildmenge zu $y$, also $f^{-1}(\{y\})=\{x | f(x)=y\}$. Von der Umkehrfunktion wissen wir ja nicht, dass sie existiert.
Ist das die Def. von injektiv aus Deiner Lehrveranstaltung? Dann ist sie nicht gut aufgeschrieben. Dann nimm die folgende:
$f: X\longrightarrow Y$ ist injektiv :$\iff$ für alle $x_1,x_2\in X$ gilt: $f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2$.
Und jetzt negiere. Ich wäre Dir aber dankbar, wenn Du nicht rätst, sondern ganz genau in den Regeln der Aussagenlogik nachschaust, wie das geht. Damit wir hier mal Fortschritte machen.
Also: $f$ ist nicht injektiv $\iff$ was?
  ─   mikn 06.11.2022 um 12:03

Entschuldigen Sie dass ich heute nicht antworten kann, bin auf dem Sprung, ich werde mich aber am Montag den ganzen Tag ran setzten versprochen.   ─   hanshackebeil 06.11.2022 um 19:22

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In Ordnung!   ─   mikn 06.11.2022 um 19:31

Schade das ich hier kein Bild hochladen kann, ich habe mich damit nochmal intensiv beschäftigt.

f ist nicht injektiv ist äquivalent zu (es exestier mindestens ein x1, x2 aus der Menge X: f(x1) = f(x2) daraus folgt, das x1 ungleich x2 ist.

Desweiteren habe ich mir Ihre ersten 2 Sätze nochmal grafisch verdeutlicht, also f hoch -1 ({y}) ist nichts anderes als die Menge aller x, welche tatsächlich auf y abbilden mit der Funktion f(x), x eingesetzt gibt den y Wert heraus und f hoch -1 (y) den x Wert welcher auf y abbgebildet hat. richtig ?
  ─   hanshackebeil 07.11.2022 um 16:56

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Ich hatte dir schon mehrmals gesagt, dass du dich mit der Negierung einer Folgerung vertraut machen solltest. Wir kommen sonst nicht weiter.   ─   mikn 07.11.2022 um 17:09

Ich werde an der Aussagenlogik arbeiten, leider habe ich in den nächsten Tagen eine OP vor mir und noch ein Stapel Heimaufgaben der bearbeitet werden will, danke für die Hilfe wirklich wie gesagt ist dies nicht selbstverständlich, auch wie viel Herzblut in diese Sache mitbringen rührt mich, ich werde mich nach der OP nochmal in diesem Post melden mit der richtigen Negation der Implikation von f nicht injektiv.

bis dahin, ich hoffe daß SIe noch nicht die Nerven an mir verloren haben, aber ich will es schaffen und werde es hoffentlich auch.
  ─   hanshackebeil 08.11.2022 um 23:00

Gute Einstellung. Dann erstmal alles Gute für die OP!   ─   mikn 08.11.2022 um 23:02

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