DIe Monotonie des Logarithmus ist sicher eine zielführende Idee. Dazu müssen wir die linke Seite umformen, sodass nur noch ein Logarithmus dasteht. Verwende die Umformungen $$\frac{\ln x+\ln y}{2}=\frac12\ln(xy)=\ln(\sqrt{xy}).$$ Jetzt müssen wir also nur noch zeigen, dass \(\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}2\) gilt. Vielleicht kennst du diese Ungleichung schon, ansonsten multipliziere mal \((\sqrt x-\sqrt y)^2\geq0\) aus.

Die Formwl lässt sich einfach mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel beweisen \(\sqrt{a\cdot b}\leq \dfrac{a+b}{2}\). Dafür schreibst du deinen linken Term mit Hilfe der Logarithmengesetze wie folgt um:

\(\dfrac{\ln(x)+\ln(y)}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot \ln(x\cdot y)=\ln \left( (x\cdot y)^{\frac{1}{2}}\right)=\ln(\sqrt{x\cdot y})\).

Hoffe das hilft weiter.