Logarithmus Ungleichung beweisen

Aufrufe: 498     Aktiv: 29.01.2021 um 14:11

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Hallo, ich soll untenstehende Ungleichung beweisen, und habe bisher verschiedene Ansätze versucht, darunter das Umschreiben und Umformen der beiden Ausdrücke mittels der Funktionalgleichung von ln, oder auch das Umschreiben mittels der e-Funktion. Meine Idee war dann, über die strenge Monotonie von ln zu argumentieren, bzw. ich habe gehofft, das dann tun zu können. Das hat mir bisher allerdings nicht viel gebracht, bzw. ich konnte daraus bisher keine Aussage ableiten. Ich habe auch überlegt es über die Ableitung zu versuchen, das erscheint mir aber nicht sinnvoll, bzw nicht möglich, da man ja zwei verschiedene Variablen hat. 

Daher ist meine Frage, ob mir jemand noch einen Tipp/Ansatz geben könnte und mir vielleicht auch sagen kann, welcher meiner Ansätze gut bzw. falsch ist ?

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DIe Monotonie des Logarithmus ist sicher eine zielführende Idee. Dazu müssen wir die linke Seite umformen, sodass nur noch ein Logarithmus dasteht. Verwende die Umformungen $$\frac{\ln x+\ln y}{2}=\frac12\ln(xy)=\ln(\sqrt{xy}).$$ Jetzt müssen wir also nur noch zeigen, dass \(\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}2\) gilt. Vielleicht kennst du diese Ungleichung schon, ansonsten multipliziere mal \((\sqrt x-\sqrt y)^2\geq0\) aus.

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Die Formwl lässt sich einfach mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel beweisen \(\sqrt{a\cdot b}\leq \dfrac{a+b}{2}\). Dafür schreibst du deinen linken Term mit Hilfe der Logarithmengesetze wie folgt um:

\(\dfrac{\ln(x)+\ln(y)}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot \ln(x\cdot y)=\ln \left( (x\cdot y)^{\frac{1}{2}}\right)=\ln(\sqrt{x\cdot y})\).

 

Hoffe das hilft weiter.

 

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