\( y'(x)+4y(x)=sin(x) \)
Ich habe den homogenen Teil gelöst bekommen und vermutlich auch die Störfunktion soweit bearbeitet und abgeleitet, aber ich kriege mein Ergebnis nicht gescheit zu einer Lösung zusammengefasst.
homogen: \( y(x)=Ce^{-4x} \)
partikuläre Lösung: \( y(x)=A_0cos(x)+B_0sin(x) \)
Ableitung: \( y'(x)=-A_0sin(x)+B_0cos(x) \)
Als letzten Schritt habe ich hier nun: \( A_0(-sin(x)+4cos(x))+B_0(cos(x)+4sin(x))=sin(x) \)
Ich muss jetzt auf \( A_0 \) und \( B_0 \) kommen, aber ich weiß nicht wie.
Am Rande: Der Texteditor hier erstellt immer weiter SPAN-Elemente, sodass die nicht-Code Texte ebenfalls anders formatiert sind
Edit:
Ich habe es gelöst bekommen. Ich sollte nicht \( A_0 \) und \( B_0 \) ausklammern, sondern \( sin(x) \) und \( cos(x) \). Dann funktioniert der Koeffizientenvergleich auch wieder. Zur Vollständigkeit ergänze ich meine Lösung:
\( (-A_0+4B_0)sin(x)+(4A_0+B_0)cos(x)=sin(x) \)
Koeffizientenvergleich: \( (-A_0+4B_0)=1 \) und \( (4A_0+B_0)=0 \) wodurch wir \( B_0=\frac {4} {17} \) und \( A_0=-\frac {1} {17} \) erhalten.
Eingesetzt ergibt das ganze dann: \( y(x)=Ce^{-4x}\frac {-cos(x)+4sin(x)} {17} \)
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