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Der Verbindungsvektor zwischen dem ersten und zweiten Flugzeug zum Zeitpunkt \(t\) ist gegeben durch $$\vec d_{12}(t)=\begin{pmatrix}-2\\2\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\\7\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}-5\\1\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+9t\\-3\\-2-8t\end{pmatrix}$$ Folglich ist der Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt \(t\) gegeben durch \(|\vec d_{12}(t)|\). Wenn du diesen Betrag ausrechnest, ist das einfach eine Funktion in \(t\), von der du mit Mitteln der Analysis (Nullstellen der Ableitung berechnen etc.) das Minimum finden kannst. Etwas einfacher machst du dir das Leben, wenn du stattdessen das Minimum von \(|\vec d_{12}(t)|^2\) suchst, denn das ist das gleiche und du musst nicht mit Wurzeln rechnen.
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stal
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So benenne ich einfach den Vektor zwischen den Flugzeugen 1 und 2 zum Zeitpunkt \(t\) (d für "distance", Abstand; 1 und 2 für die Flugzeuge, der Pfeil drüber, weil es ein Vektor ist, und (t) dahinter, weil er von der Zeit abhängt). Du kannst aber auch irgendeinen anderen Buchstaben verwenden.
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stal
21.04.2021 um 14:46
Du sollst jetzt \(|\vec d_{12}(t)|^2\) ausrechnen, die Nullstellen der Ableitung berechnen, mit einer Monotonietabelle oder der zweiten Ableitung entscheiden, ob und wo ein Minimum vorliegt und dieses dann durch Einsetzen in \(|\vec d_{12}(t)|\) berechnen.
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stal
21.04.2021 um 14:48
Berechne den Betrag des Vektors \(\begin{pmatrix}-3+9t\\-3\\-2-8t\end{pmatrix}\). Kriegst du das hin?
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stal
21.04.2021 um 14:51
Nein, den Betrag. Zusammenfassen kannst du da ja nichts mehr.
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stal
21.04.2021 um 14:53
Weißt du, wie du den Betrag eines Vektors berechnet?
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stal
21.04.2021 um 14:55
Die Formel für den Betrag eines Vektors ist ja $$\left|\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ Dass da jetzt eine Variable drin steht, macht überhaupt nichts. Es geht los mit \(\sqrt{(-3+9t)^2+\ldots}\) Kannst du jetzt den Rest ausfüllen und dann den Radikanden vereinfachen?
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stal
21.04.2021 um 15:00
Der Radikand ist das, was unter der Wurzel steht. Du sollst das nicht in einen Taschenrechner eintippen, du sollst die Klammern mit binomischen Formeln auflösen und dann Terme mit gleichen \(t\)-Potenzen zusammenfassen.
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stal
21.04.2021 um 15:13
Nein, du musst die binomischen Formeln verwenden. Z.B. ist \((-3+9t)^2=(-3)^2+2(-3)\cdot9t+(9t)^2=9-54t+81^2\). Der zweite Summand ist einfach, das ist einfach \(9\), für den letzten brauchst du wieder die binomische Formel. Insgesamt solltest du auf \(\sqrt{145t^2-22t+22}\) kommen.
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stal
21.04.2021 um 15:20
Davon wollen wir das Minimum finden. Also solltest du als nächstes die Ableitung berechnen.
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stal
21.04.2021 um 15:29
Aber du hast ja noch eine Wurzel, du brauchst also eigentlich die Kettenregel.
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stal
21.04.2021 um 15:32
\(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\). Aber wir können auch benutzen, dass die Wurzel monoton steigt, d.h. die Wurzel wird genau dann minimal, wenn ihr Argument minimal wird, und uns nur auf das Polynom konzentrieren. Dann ist die Ableitung \(290t-22\) richtig. Davon kannst du die Nullstelle berechnen, oder?
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stal
21.04.2021 um 15:35
Ja, das ist richtig. Jetzt muss man argumentieren, dass das tatsächlich ein Minimum ist. Am einfachsten geht das, indem man sich überlegt, dass der Term unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel ist, die also an ihrem Scheitelpunkt ein Minimum hat. Aber du kannst auch die zweite Ableitung ausrechnen und überprüfen, dass \(f''(x_0)>0\) oder eine Monotonietabelle machen.
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stal
21.04.2021 um 15:43
Jetzt bist du schon fast fertig. Du musst das nur noch in \(\sqrt{\ldots}\) einsetzen, um den Abstand zu bestimmen. Das ist dann die Antwort.
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stal
21.04.2021 um 16:08
Ja genau. Jetzt bist du mit diesem Flugzeugpaar fertig und musst nur noch alles nochmal für die anderen Paare von Flugzeugen.
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stal
21.04.2021 um 16:12
Ja, km.
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stal
21.04.2021 um 16:12
Diese Berechnung für den kürzesten Abstand der Flugzeuge 1 und 2 gilt allerdings nur für den Fall, dass alle Flugzeuge zum selben Zeitpunkt gestartet sind. (das ist sicher stillschweigend vorausgesetzt)
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gerdware
21.04.2021 um 16:18
In der Aufgabe steht "die Zeit wird in Minuten ab dem Beginn der Beobachtung gemessen". Unter der Annahme, dass \(t\) die Zeit beschreibt, impliziert das, dass alle Flugzeuge zum Zeitpunkt \(0\) sich im Aufpunkt ihrer jeweiligen Gerade befunden haben.
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stal
21.04.2021 um 16:20