Gruppenhomomorphismus mit Restklassen

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Hallo

Ich habe eine Aufgabe über Gruppenhomomorphismus und verstehe die Lösungsidee und Bemerkungen dazu noch nicht ganz. Restklassen verstehe ich, da liegt nicht das Problem. Ich vermute, ich sollte die zwei Definitionen Gruppenhomomorphismus und Surjektivität besser gesondernt anschauen, weil hier in der Aufgabe bin ich verwirrt.



Per Definition schickt ein Gruppenhomomrphismus (Gr.h.) immer das neutrale Element auf das neutrale
Element, so steht es auch im zweiten Satz der Lösung.
Beide Fälle von Z/2Z (also (0,1) nach (0,1,2)) werden überprüft. Bei phi(0) = 0 ist es ein Gruppenhomomorphismus, aber nicht surjektiv, da 1 und 2 nicht getroffen werden. Falls phi(1) = 0 ist, ist phi auch nicht surjektiv, weil 1 und 2 wären wiederum nicht im Bild. Phi(1) = 0 wäre doch gar kein Gr.homomorphismus mehr, weil nicht das neutrale auf das neutrale Element abgebildet wird?
Meine Interpretation davon; eine surjektive Abb. von Z/2Z nach Z/3Z ist aufgrund der Restklassen gar nicht möglich, es bleibt immer zwei (bzw eines, wenn man von der 0 absieht) Elemente frei in der Zielmenge, welche nicht getroffen werden, egal welches Element aus dem Definitionsbereich 'auf die Reise geschickt wird'.

Von Z/2Z auf Z/3Z
(a) phi(0) = 0 werden die Eigenschaften des Gr.h. erfüllt, aber die Abb. ist nicht surjektiv, da 1 und 2 nicht im Bild. Weil phi(0) = 0 gilt, so ist die Abbildung insgesamt ein Gr.h., hab ich das so korrekt verstanden? D.h. sobald das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet wird und dies korrekt ist (also hier phi(0) = 0 wahr ist, und mit Annahme dass die anderen zwei Eigenschaften des Gr.h. erfüllt sind) dann ist die Abbildung ein Gr.h. und es muss nichts weiter überprüft werden, egal was in phi reingepackt wird. Kann man das so allgemein sagen? ich weiss, die Definition ist gegeben, aber meinem Verständnis würde es sehr helfen, wenn mir jemand diese Frage mit Ja oder Nein und evtl einer Begründung beantworten kann.

(b) phi(0) = 1  nicht surjektiv, da 0 und 2 nicht im Bild. Wird nicht erwähnt in der Lösung, gleiches für (c)
(c) phi(0) = 2  nicht surjektiv, da 0 und 1 nicht im Bild.
(d) phi (1) = 0  nicht surjektiv, da 1 und 2 nicht im Bild.
(e) phi(1) = 1  nicht surjektiv, da 0 und 2 nicht im Bild.
(f) phi(1) = 2  nicht surjektiv, da 0 und 1 nicht im Bild.

Die beiden Abbildungen (b) und (c) werden in der Lösung nicht erwähnt. Ist das so weil phi(0) = 0 richtig ist, und der Gr.h. erfüllt ist? Für die Surjektivität ist es doch trotzdem relevant...? Weil von phi(1) werden die möglichen Fälle trotzdem beschrieben. Für phi(1) = 1 und phi(1) = 2 wird nur erwähnt, dass die 2 resp. die 1 nicht im Bild ist, aber was ist mit der 0? Die ist doch dann auch nicht im Bild? Nur weil die 0 schon von phi(0) getroffen ist, heisst das nicht automatisch, dass die 0 nicht nochmals getroffen werden kann, wobei das für die Surjektivität keinen Unterschied macht. Ich denke es hat mit dem Gr.h. zu tun, aber ich verstehe den Zusammenhang noch nicht ganz, ausser meine Vermutung oben ist korrekt.

Mit der Annahme, dass phi ein surjektiver Gr.h. ist von Z/3Z nach Z/2Z und meiner Interpretation über den Gr.h. verstehe ich den zweite Teil des Beweises bis auf das unten stehende. Man geht wieder die Fälle durch einzeln und untersucht ob surjektiv oder nicht, alles klar.
Warum wird (wie oben, meine Vermutung bleibt dieselbe) phi(0) = 1 nicht untersucht? Weil schon phi(0) = 0 gilt? Dies ist aber trotzdem nicht surjektiv....
Und phi(2) in {0,1} wird nicht untersucht weil es nicht mehr nötig ist.

Ich danke vielmals im voraus, ist hoffentlich genug deutlich geschrieben.

Grüsse

gpr
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1 Antwort
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Dass es keinen Homomorphismus von \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) gibt sollte klar sein, da es nur 2 Urbilder gibt und somit keine 3 Bilder geben kann. Das wurde hier gezeigt, in dem man die denkbaren Abbildungen durchgegangen ist. Im zweiten Fall geht man nun auch die denkbaren Fälle durch, \(0\mapsto 0\) ist klar, nun muss also entweder \(1\mapsto 0\) oder \(1\mapsto 1\) gelten, für beide Fälle wurde ein Widerspruch erzeugt
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Danke für deine Antwort! Genau, im grossen und ganzen macht es für mich auch Sinn!
Aber die denkbaren Fälle würden für mich auch diese sein, die ich in meinen Frage konkret angesprochen habe, auf die du leider keine Antworten geschrieben hast. Deine Antwort hat mir bestätigt, dass ich einen Teil verstehe, für's Verständnis wäre es aber schön wenn du (oder jemand anderes natürlich) meine Fragen beantwortest. Vllt ist es super trivial und ich steh einfach auf der Leitung.
  ─   gpr.racer vor 6 Tagen, 22 Stunden

Ich denke mal das Verständnisproblem bezieht sich auf den Fall \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \mapsto\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), weil der andere Fall so eindeutig ist. Also, wenn \(\phi\) ein derartiger Homomorphismus wäre, dann wird auf jeden Fall \(\phi(0)=0\) gelten. Nun muss also noch \(1\in \mathbb{Z/2\mathbb{Z}}\) getroffen werden. Dies können wir geschickt in 2. Fälle aufteilen, obwohl es ja noch mehr gibt. Der erste Fall wäre nun, dass \(\phi(1)=1\) wäre, woraus folgt, dass \(\phi\) surjektiv ist. Der zweite Fall wäre nun, dass \(\phi(1)=0\) ist und \(\phi\) surjektiv ist, was gleichbedeutend zu \(\phi(2)=1\) ist. Diese beiden Fälle decken also die Surjektivität von \(\phi\) ab.   ─   mathejean vor 6 Tagen, 21 Stunden

Danke für deine Antwort, der zweite Satz hat mir geholfen, ich war bezüglich der 0 nicht sicher, ob diese nicht auch untersucht werden muss, aber wegen dem Homomorphismus offenbar nicht mehr.   ─   gpr.racer vor 5 Tagen, 21 Stunden

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