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Dass es keinen Homomorphismus von \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) gibt sollte klar sein, da es nur 2 Urbilder gibt und somit keine 3 Bilder geben kann. Das wurde hier gezeigt, in dem man die denkbaren Abbildungen durchgegangen ist. Im zweiten Fall geht man nun auch die denkbaren Fälle durch, \(0\mapsto 0\) ist klar, nun muss also entweder \(1\mapsto 0\) oder \(1\mapsto 1\) gelten, für beide Fälle wurde ein Widerspruch erzeugt
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mathejean
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Ich denke mal das Verständnisproblem bezieht sich auf den Fall \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \mapsto\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), weil der andere Fall so eindeutig ist. Also, wenn \(\phi\) ein derartiger Homomorphismus wäre, dann wird auf jeden Fall \(\phi(0)=0\) gelten. Nun muss also noch \(1\in \mathbb{Z/2\mathbb{Z}}\) getroffen werden. Dies können wir geschickt in 2. Fälle aufteilen, obwohl es ja noch mehr gibt. Der erste Fall wäre nun, dass \(\phi(1)=1\) wäre, woraus folgt, dass \(\phi\) surjektiv ist. Der zweite Fall wäre nun, dass \(\phi(1)=0\) ist und \(\phi\) surjektiv ist, was gleichbedeutend zu \(\phi(2)=1\) ist. Diese beiden Fälle decken also die Surjektivität von \(\phi\) ab.
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mathejean
10.06.2021 um 09:38
Danke für deine Antwort, der zweite Satz hat mir geholfen, ich war bezüglich der 0 nicht sicher, ob diese nicht auch untersucht werden muss, aber wegen dem Homomorphismus offenbar nicht mehr.
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gpr.racer
11.06.2021 um 09:37
Aber die denkbaren Fälle würden für mich auch diese sein, die ich in meinen Frage konkret angesprochen habe, auf die du leider keine Antworten geschrieben hast. Deine Antwort hat mir bestätigt, dass ich einen Teil verstehe, für's Verständnis wäre es aber schön wenn du (oder jemand anderes natürlich) meine Fragen beantwortest. Vllt ist es super trivial und ich steh einfach auf der Leitung. ─ gpr.racer 10.06.2021 um 09:25