www.mathefragen.de - Sei V ein K -Vektorraum. Eine lineare Abbildung P : V → V heißt Projektion, wenn P 2 = P gil

Sei $ V $ ein $ K $ -Vektorraum. Eine lineare Abbildung $ P: V \rightarrow V $ heißt Projektion, wenn $ P^{2}=P $ gilt. (a) Zeige, dass die lineare Abbildung $$ \begin{array}{l} P: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} v_{1}+2 v_{3} \\ v_{2} \\ 0 \end{array}\right) \end{array} $$ eine Projektion ist. Sei nun $ P: V \rightarrow V $ irgendeine Projektion. Zeige: (b) Ist $ v \in P(V) $, so gilt $ P(v)=v $. Folgere $ \operatorname{Ker}(P) \cap P(V)=0 $. (c) Für $ v \in V $ gilt $ v-P(v) \in \operatorname{Ker}(P) $. Folgere $ \operatorname{Ker}(P)+P(V)=V $. Insgesamt gilt also $ V=\operatorname{Ker}(P) \oplus P(V) $. (d) Ist $ P \neq 0 $, so ist id $ v-P $ nicht invertierbar. (e) Für $ \lambda \neq 1 $ ist $ \operatorname{Ker}\left(\right. $ id $ \left._{V}-\lambda P\right)=0 $. Folgere, dass id $ v-\lambda P $ invertierbar ist. Text erkannt: Sei $ V $ ein $ K $ -Vektorraum. Eine lineare Abbildung $ P: V \rightarrow V $ heißt Projektion, wenn $ P^{2}=P $ gilt.

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gefragt 06.06.2021 um 19:06

noah1996
Punkte: 10

Welche Aufgabe versteht du denn nicht? ─ mathejean 06.06.2021 um 19:21

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Sei V ein K -Vektorraum. Eine lineare Abbildung P : V → V heißt Projektion, wenn P 2 = P gil

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