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Warum man grundsätzlich ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall nimmt, liegt einfach daran, dass dieses das kleinstmögliche Intervall ist, was die Vorgaben erfüllt. Dass also ein entsprechendes Intervall gesucht ist, kann und sollte stillschweigend vorausgesetzt werden. Dennoch ist die Aufgabe da sehr unpräzise formuliert.
Mit welcher Aussage könntest du denn mehr anfangen:
1. Die Anzahl der Treffer liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von \(95{,}5\,\%\) im Intervall \([0; 318]\).
2. Die Anzahl der Treffer liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von \(96{,}01\,\%\approx 95{,}5\,\%\) im Intervall \([278;322]\).
Aussage 2 ist wesentlich (!) aussagekräftiger, was man sich anhand eines konkreten Beispiels klarmachen kann:
Wenn \(X\) die Anzahl der Minuten ist, die es am nächsten Tag regnet, dann liefert Aussage 2 eine viel bessere Prognose darüber, dass es vermutlich um die 5 Stunden regnen wird. Bei Aussage 1 hingegen weiß man nur, dass es mit einer entsprechenden Wahrscheinlichkeit maximal etwas länger als 5 Stunden regnen wird. Das ist schon ein Unterschied. Genauso gut könnte man aber auch das Intervall \([281;500]\) mit ähnlicher Wahrscheinlichkeit betrachten, was ergibt, dass es mindestens länger als über 4 Stunden regnet. Das heißt, insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es deutlich länger als 4 Stunden regnet, aber auch nur maximal knapp über 5 regnet entsprechend hoch. Die Prognose \([278;322]\) sagt damit mehr aus als die Prognose über die minimale oder maximale Regendauer, auch wenn die Wahrscheinlichkeiten ähnlich hoch sind.
Mit welcher Aussage könntest du denn mehr anfangen:
1. Die Anzahl der Treffer liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von \(95{,}5\,\%\) im Intervall \([0; 318]\).
2. Die Anzahl der Treffer liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von \(96{,}01\,\%\approx 95{,}5\,\%\) im Intervall \([278;322]\).
Aussage 2 ist wesentlich (!) aussagekräftiger, was man sich anhand eines konkreten Beispiels klarmachen kann:
Wenn \(X\) die Anzahl der Minuten ist, die es am nächsten Tag regnet, dann liefert Aussage 2 eine viel bessere Prognose darüber, dass es vermutlich um die 5 Stunden regnen wird. Bei Aussage 1 hingegen weiß man nur, dass es mit einer entsprechenden Wahrscheinlichkeit maximal etwas länger als 5 Stunden regnen wird. Das ist schon ein Unterschied. Genauso gut könnte man aber auch das Intervall \([281;500]\) mit ähnlicher Wahrscheinlichkeit betrachten, was ergibt, dass es mindestens länger als über 4 Stunden regnet. Das heißt, insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es deutlich länger als 4 Stunden regnet, aber auch nur maximal knapp über 5 regnet entsprechend hoch. Die Prognose \([278;322]\) sagt damit mehr aus als die Prognose über die minimale oder maximale Regendauer, auch wenn die Wahrscheinlichkeiten ähnlich hoch sind.
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cauchy
Selbstständig, Punkte: 30.6K
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Erst mache ich ein Zufallsexperiment, das mit 95,5% W. eine 1 ergibt, und zu 4,5% 0.
Erhalte ich eine 1, so mache ich irgendeine Prognose, z.B. "111 Treffer". Die Prognose muss ja nicht stimmen. Sie darf - lt Aufgabe - auch grob falsch sein.
Erhalte ich eine 0, so mache ich nichts.
Nun, das ist wohl kaum damit gemeint, Deswegen müsste man hier den genauen Aufgabentext kennen.
Lautet er:
"Finde ein Intervall symmetrisch um den Erwartungswert, welches den Experimentausganz zu 95,5% enthält"
dann muss man \([\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]\) nehmen.
Lautet er:
"Finde ein Intervall , welches den Experimentausganz zu 95,5% enthält"
dann kann man auch ein anderes Intervall nehmen.
Da die Aufgabe unpräzise gestellt ist, kann man die Frage nicht eindeutig mit "Ja" oder "Nein" beantworten. ─ m.simon.539 20.01.2025 um 18:10